N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

2) Endi α=1 holni o‘rganamiz:

.

Demak, bu holda (9) II tur xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.

3) α>1 holni qaraymiz:

.

Demak, bu holda ham (9) II tur xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.

Shunday qilib, (9) xosmas integral 0<α<1 holda yaqinlashuvchi, α≥1 holda esa uzoqlashuvchi ekan. Bu natijaning geometrik ma’nosi shundan iboratki, y=1/x^α , x=0, x=b>0, y=0 chiziqlar bilan chegaralangan cheksiz geometrik shaklning S yuzasi 0<α<1 holda chekli va S= b^1–α (keyingi betdagi 85-rasmga qarang), α≥1 holda esa bu shakl yuzasi cheksiz bo‘lar ekan.


85-rasm


y=f(x) funksiya [a,b) yarim oraliqda chegaralanmagan, ammo ixtiyoriy uchun bu funksiya [a,b–ε] kesmada chegaralangan va integrallanuvchi bo‘lsin. Bu holda f(x) funksiyaning II tur xosmas integrali quyidagicha kiritiladi:

.

Bu yerda ham tenglikning o‘ng tomonidagi limit mavjud va chekli bo‘lsa xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda – uzoqlashuvchi deyiladi.

Masalan,

.

Demak, bu II tur xosmas integral yaqinlashuvchi.

.

Demak, bu II tur xosmas integral uzoqlashuvchi.

Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmaning biror ichki x=c nuqtasida chegaralanmagan bo‘lsa, bu holda II tur xosmas integral

(10)

tenglik orqali kiritiladi. Bu xosmas integralning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‘lishi 4-ta’rif singari aniqlanadi.

Masalan, xosmas integralni qaraymiz. Integral ostidagi funksiya c=0 nuqtada uzlukli va chegaralanmagan. Unda, (10) tenglikka asosan,

,

,

.
Demak, bu II tur xosmas integral uzoqlashuvchi ekan.

II tur xosmas integrallarning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini yetarli shartlari oldin I tur xosmas integrallar uchun ifodalangan 1-3 teoremalarga o‘xshash ifodalanadi.

3.