N djurayev, B. E. Eshmatov ehtimolliklar nazariyasi

13.2
Tanlanmaning о‘rta qiymati 
va tanlanmaning dispersiyasini 
hisoblashning kо‘paytmalar usuli 
Tanlanmaning 
yig‘ma 
xarakteristikalarini 
hisoblashda 
empirik 
momentlardan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Empirik momentlar nazariy 
momentlardan farqli ravishda kuzatish ma’lumotlari bо‘yicha hisoblanadi. 


n
C
x
n
M
i
k
i
i
k



'
(13.1) 
yig‘indi 
k
-tartibli 
oddiy empirik moment
deyiladi. 
Bu yerda, 
C
– soxta nol; 
n 
– tanlanma hajmi. 
n
x
n
M
i
k
i
i
k


(13.2) 
yig‘indi 
k
-tartibli 
boshlang‘ich empirik moment
deyiladi. 
Masalan,
x
n
x
n
M
i
i
i



1
. 
k
-tartibli 
markaziy empirik moment
deb,


n
x
x
n
m
k
T
i
i
i
k



(13.3) 
 
ifodaga aytiladi. Xususan,


T
T
i
i
D
n
x
x
n
m




2
2
. 
Yuqoridagi munosabatlardan, quyidagilarni yozish mumkin: 


2
1
'
2
2
M
M
m





3
1
1
'
2
'
3
3
2
3
M
M
M
M
m





Hisoblashlarni soddalashtirish maqsadida, dastlabki variantalardan shartli 
variantalarga о‘tiladi va empirik momentlar о‘rniga shartli empirik 
momentlardan foydalanish mumkin: 
k
i
i
i
i
k
i
i
k
h
C
x
n
n
n
u
n
M











1
*
 
Xususan, 
k
=1da 1-tartibli shartli empirik moment 



























i
i
c
i
i
i
i
C
x
h
n
C
n
x
n
h
h
C
x
n
n
M
1
1
1
*
1
bu yerdan,
C
h
M
x



1
(13.4) 
Tanlanmaning dispersiyasini hisoblash uchun esa
 


2
2
1
2
h
M
M
D
T




(
13.5 )
ni topamiz. Shuningdek ,
k
k
k
h
M
M
*
'


---

100 
2-misol.
Tanlanmaning quyidagi statistik taqsimoti bо‘yicha 
tanlanmaning о‘rta 
qiymati
va tanlanmaning dispersiyasini hisoblang. 
x
i 
136 
140 
144 
148 
152 
156 
n
i 
1 
3 
12 
18 
14 
2 
 
Yechish
.
50

п
, interval uzunligi 
4

h
; soxta nol sifatida eng katta chastotaga 
mos 
C=
148
 
ni olamiz.Shartli variantalarni topamiz:


6
,
1
4
148



i
x
и
i
i
;
2
,
1
,
0
,
1
,
2
4
148
140
,
3
4
148
136
4
148
6
5
4
3
2
1
1















u
u
u
u
u
x
и
va quyidagi jadvalni tuzamiz: 
i
i
x
i
и
i
n
i
i
u
n
2
i
i
u
n


2
1

i
i
u
n
1 
136 
-3 
1 
-3 
9 
4 
2 
140 
-2 
3 
-6 
12 
3 
3 
144 
-1 
12 
-12 
12 
0 
4 
148 
0 
18 
0 
0 
18 
5 
152 
1 
14 
14 
14 
56 
6 
156 
2 
2 
4 
8 
18 

50 
-3 
55 
99 
Oxirgi ustun nazorat ustuni deyiladi.Agar 









i
i
i
i
i
i
i
i
i
n
u
n
u
n
u
n
2
1
2
2
tenglik о‘rinli bо‘lsa, u holda hisoblashlar tо‘g‘ri bajarilgan hisoblanadi.




99
50
6
55
50
3
2
55
2
1
2
2
















i
i
i
i
i
i
i
i
i
n
u
n
u
n
u
n
. 
Demak, hisoblashlar tо‘g‘ri bajarilgan. Shartli empirik momentlarni topamiz: 
06
,
0
50
3
*
1






n
u
n
M
i
i
1
,
1
50
55
2
*
2




n
u
n
M
i
i
Shunday qilib, (13.4) va (13.5) munosabatlardan : 
76
,
147
148
4
06
,
0





x




.
54
,
17
4
06
,
0
1
,
1
2
2




T
D
Tanlanmaning о‘rta qiymati 
va tanlanmaning dispersiyasini hisoblashning bu 
usuli 
kо‘paytmalar usuli
deb aytiladi. 
 
 

---

101 
13.3 Dastlabki variantalarni teng uzoqlikdagi variantalarga keltirish
Kuzatish natijalarida variantalar hamma vaqt ham teng uzoqlikda 
bо‘lavermaydi, ya’ni dastlabki variantalar teng uzoqlikda bо‘lmasligi 
mumkin.Bu holda, belgining kuzatilayotgan barcha qiymatlari kirgan intervalni 
bir nechta teng qismiy intervallarga ajratiladi va ularning о‘rtalari topiladi, ana 
shular teng uzoqlikdagi variantalar ketma – ketligini hosil qiladi. Har bir yangi 
variantaning chastotatasi sifatida tegishli qismiy intervalga kirgan chastotalar 
yig‘indisi qabul qilinadi.
 
3-misol
. Quyidagi jadvalda tavakkaliga olingan 100 ta talabaning bо‘yini 
о‘lchash natijalari keltirilgan 
Bо‘yi(sm) 
i
x
Talabalar soni 
i
n
i
x
i
n
i
x
i
n
154 
2 
166 
8 
175 
2 
155 
2 
167 
8 
176 
4 
158 
4 
168 
12 
177 
2 
160 
4 
169 
6 
178 
6 
161 
6 
170 
7 
179 
2 
163 
6 
172 
3 
180 
1 
164 
10 
173 
4 
182 
1 
 
a
) Teng uzoqlikdagi variantalar taqsimotini tuzing. 
b
) Dastlabki va teng uzoqlikdagi variantalar bо‘yicha 
tanlanmaning о‘rta 
qiymati 
va tanlanmaning dispersiyasini hisoblang. 
Yechish.
a
) 154-182 intervalni uzunligi h=4 bо‘lgan yettita qismiy intervalga 
bо‘lamiz: 
154-158, 158-162, 162-166, 166-170, 170-174, 174-178, 178-182. 
Qismiy intervallarning о‘rtalarini yangi 
i
y
variantalar sifatida olib, teng 
uzoqlikdagi variantalarni hosil qilamiz. 
y
1
=156; 
y
2
=160; 
y
3
=164; 
y
4
=168; 
y
5
=172; 
y
6
=176; 
y
7
=180. 
Har bir qismiy intervalning chastotalarini topamiz: 
n
1
=8; 
n
2
=10; 
n
3
=24; 
n
4
=33; 
n
5
=7; 
n
6
=14; 
n
7
=4 
Shunday qilib, teng uzoqlikdagi variantalar taqsimoti: 
y
i 
156 
160 
164 
168 
172 
176 
180 
n
i 
8 
10 
24 
33 
7 
14 
4 

b
) Dastlabki variantalar bо‘yicha 
tanlanmaning о‘rta qiymati 
va tanlanmaning 
dispersiyasini topamiz. Soxta nol sifatida 
C
=168 ni olamiz va 
168


i
i
x
и

---

102 
shartli variantalarga о‘tamiz. U holda, 
i
и
larga mos statistik taqsimot uchun 
quyidagi jadvalni tuzamiz: 
i 
i
и
i
n
i
i
x
n
2
i
i
x
n
1 
-12 
2 
-24 
288 
2 
-11 
2 
-22 
242 
3 
-10 
4 
-40 
400 
4 
-8 
4 
-32 
256 
5 
-7 
6 
-42 
294 
6 
-5 
6 
-30 
150 
7 
-4 
10 
-40 
160 
8 
-2 
8 
-16 
32 
9 
-1 
8 
-8 
8 
10 
0 
12 
0 
0 
11 
1 
6 
6 
6 
12 
2 
7 
14 
28 
13 
4 
3 
12 
48 
14 
5 
4 
20 
100 
15 
7 
2 
14 
98 
16 
8 
4 
32 
256 
17 
9 
2 
16 
162 
18 
10 
6 
60 
600 
19 
11 
2 
22 
242 
20 
12 
1 
12 
144 
21 
14 
1 
14 
196 

i
100 
-32 
3710 
Natijada,
32
,
0
100
32






n
u
n
u
i
i
i
68
,
167
168
32
,
0
168






u
x
 


076
,
36
1024
.
0
10
.
37
32
.
0
100
3710
2
2
2









и
и
D
D
u
x
Shunday qilib,
68
,
167

T
x
;
 
076
,
36

x
D
T
. 
Endi teng uzoqlikdagi variantalar bо‘yicha 
tanlanmaning о‘rta qiymati 
va 
tanlanmaning dispersiyasini hisoblaymiz. Interval uzunligi 
h
=4; soxta nol 
sifatida eng katta chastotaga mos 
C
=168 chastotani olamiz. 
4
168


i
i
у
и
shartli variantalarni topamiz va ularga mos quyidagi jadvalni tuzamiz. 

---

103 
i
i
y
i
и
i
n
i
i
u
n
2
i
i
u
n


2
1

i
i
u
n
1 
156 
-3 
8 
-24 
72 
32 
2 
160 
-2 
10 
-20 
40 
10 
3 
164 
-1 
24 
-24 
24 
0 
4 
168 
0 
33 
0 
0 
33 
5 
172 
1 
7 
7 
7 
28 
6 
176 
2 
14 
28 
56 
126 
7 
180 
3 
4 
12 
36 
64 

100 
-21 
235 
293 
Oxirgi nazorat ustunini tekshiramiz: 
















i
i
i
i
i
i
i
i
i
n
u
n
u
n
u
n
293
100
21
2
235
2
1
2
2
Demak, hisoblashlar tо‘g‘ri bajarilgan.Shartli empirik momentlarni topamiz: 
21
,
0
100
21
1







n
u
n
M
i
i
i
35
,
2
100
235
2
*
2




n
u
n
M
i
i
i
 
Natijada,
16
,
167
168
4
21
,
0
*
'








C
h
M
y
. 
 




8944
,
36
16
3059
,
2
4
0441
,
0
35
,
2
2
2
2
*
1
*
2









h
M
M
D
T
. 
Shunday qilib,
68
,
167

T
x
076
,
36

T
D
16
,
167

y
8944
,
36


T
D
Kо‘rinib turibdiki, dastlabki variantalarni teng uzoqlikdagi variantalarga 
almashtirish muhim xatolarga olib kelmadi deyish mumkin, ammo hisoblash 
hajmi ancha kamaydi; ba’zan teng uzoqlikdagi variantalarga almashtirish 
muhim xatolarga olib kelishi mumkin, bunday hollarda Sheppard tuzatmasi 
hisobga olinadi:
2
12
1
h
D
D
T
T



.
4-misol.
n
=100 hajmli tanlanmaning berilgan taqsimoti bо‘yicha tanlanmaning 
о‘rta qiymati va tanlanmaning dispersiyasini kо‘paytmalar usuli bilan toping. 
x
i 
2 
3 
7 
9 
11 
12.5 
16 
18 
23 
26 
26 
n
i 
3 
5 
10 
6 
10 
4 
12 
13 
8 
20 
9 
Yechish
: 2-26 intervalni uzunligi h=6 bо‘lgan quyidagi qismiy intervallarga 
bо‘lamiz: 
2-8; 8-14; 14-20; 20-26. 
Qismiy intervallarning о‘rtalarini yangi variantalar sifatida olib, teng 
uzoqlikdagi variantalarni hosil qilamiz: 

---

104 
variantaning chastotasi sifatida birinchi intervalga tushgan
variantalarning chastotalari yigindisini olamiz, masalan 
Qolgan variantalarning chastotalarini ham shunga oxshash hisoblab, teng 
uzoqlikdagi variantalar taqsimotini hosil qilamiz: 
y
i 
5 
11 
17 
23 
n
i 
18 
20 
25 
37 
Kо‘paytmalar usulidan foydalanib,
=15,86,
14
,
45


T
D
ni topamiz. 
Qismiy intervallar soni kamligi dan (4ta), Sheppard tuzatmasini hisobga olamiz:
.
14
,
42
6
12
1
14
,
45
12
1
2
2







h
D
D
T
T
Bu orinda, dastlabki variantalar bо‘yicha hisoblangan tanlanmaning
dispersiyasi taqriban 42,6 ga tengligini qayd etib о‘tamiz(о‘quvchiga hisoblab 
chiqishni tavsiya etamiz).