|
Eslatma.
(7.9) funksiya ehtimollikning
tekis taqsimot
zichlik funksiyasi
,
(7.10) esa
tekis taqsimotning taqsimot funksiyasi
deyiladi.
46
7.3 Uzluksiz tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari
X
uzluksiz tasodifiy miqdor
)
(
x
f
zichlik funksiyasi orqali berilgan va
uning mumkin bо‘lgan qiymatlari
,
kesmaga tegishli bо‘lsin.
Mumkin bо‘lgan qiymatlari
,
kesmaga tegishli bо‘lgan
X
uzluksiz
tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi deb,
dx
x
f
x
X
М
)
(
(7.11)
aniq integralga aytiladi.Agar mumkin bо‘lgan qiymatlar butun O
x
son о‘qiga
tegishli bо‘lsa, u holda,
dx
x
f
x
X
М
)
(
(7.12)
Bunda, xosmas integral absolyut yaqinlashuvchi deb faraz qilinadi.
Uzluksiz tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb, agar mumkin bо‘lgan
qiymatlari
,
kesmaga tegishli bо‘lsa,
dx
x
f
X
M
х
X
D
)
(
)
(
2
(7.13)
integralga; agarda mumkin bо‘lgan qiymatlar butun O
x
son о‘qiga tegishli
bо‘lsa, u holda
dx
x
f
X
M
х
X
D
)
(
)
(
2
(7.14)
integralga aytiladi.
О‘rtacha kvadratik chetlanish
esa, diskret tasodifiy miqdor uchun
bо‘lgani kabi
X
D
X
(7.15)
1-izoh.
Diskret tasodifiy miqdorlar matematik kutilmasi va dispersiyasining
xossalari uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun ham saqlanadi.
2-izoh
. Dispersiyani hisoblash uchun qulay quyidagi formulani hosil qilish
mumkin.
2
2
)
(
X
М
dx
x
f
x
X
D
(7.16)
yoki
.
)
(
2
2
X
М
dx
x
f
x
X
D
(7.17)
6-misol
.
X
tasodifiy miqdorning
да
x
да
x
x
да
x
x
F
2
,
1
2
2
,
2
1
4
2
,
0
)
(
taqsimot funksiyasi berilgan.
X
miqdorning matematik kutilmasi va
dispersiyasini toping.
47
Yechish
Avvalo,
X
miqdorning zichlik funksiyasini topamiz.
да
x
да
x
да
x
x
F
x
f
2
,
0
2
2
,
4
1
2
,
0
)
(
)
(
(7.12) formulaga asosan,
0
8
4
1
4
1
2
2
2
2
2
2
2
x
dx
x
xdx
X
М
Dispersiyani hisoblash uchun (7.17) formuladan foydalanamiz:
3
4
3
4
1
0
4
1
2
2
2
2
2
2
2
x
dx
x
X
D
О‘Z-О‘ZINI TEKSHIRISH UCHUN SAVOLLAR
1.Uzluksiz tasodifiy miqdor ta’rifini ayting va misollar keltiring.
2.Taqsimot funksiyasi ta’rifini ayting.
3.Taqsimot funksiyaning xossalarini ayting.
4.Taqsimotning zichlik
funksiyasining ta’rifini ayting.
5.Taqsimotning zichlik
funksiyasining xossalarini ayting.
6.Uzluksiz tasodifiy miqdor matematik kutilmasini ta’rifini ayting.
7.Uzluksiz tasodifiy miqdor dispersiyasini ta’rifini ayting.
8.Uzluksiz tasodifiy miqdor dispersiyasini hisoblash formulalarini yozing.
9.Taqsimot funksiyasiga kо‘ra zichlik funksiyasi qanday topiladi?
10.Taqsimotning zichlik funksiyasiga kо‘ra taqsimot funksiyasi qanday topiladi?
Mustaqil yechish ushun mashqlar
1
.X
tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot funksiyasi bilan berilgan:
2
,
1
2
2
,
2
arcsin
1
2
1
2
,
0
x
agar
x
agar
x
x
agar
x
F
Sinov natijasida X miqdorning (-1,1) intervalda yotgan qiymat qabul qilish
ehtimolligini toping. J:
3
1
1
1
X
P
2.
X diskret tasodifiy miqdor ushbu taqsimot qonuni bilan berilgan:
Х
2
4
7
р
0,5
0,2
0,3
F(x) taqsimot funksiyasini toping va uning grafigini chizing.
3.
X
uzluksiz tasodifiy miqdorining
4
,
1
4
0
,
2
sin
0
,
0
x
agar
x
agar
x
x
agar
x
F
48
taqsimot funksiyasi berilgan.
)
(
x
f
zichlik
funksiyasini toping.
J:
:
4
,
0
intervalda
x
x
f
2
cos
2
)
(
,bu intervaldan tashqari
0
)
(
x
f
.
4.
X
uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan:
2
,
1
2
0
,
cos
0
,
0
x
agar
x
agar
x
x
agar
x
f
taqsimot funksiyasini toping. J:
2
,
1
2
0
,
sin
0
,
0
x
agar
x
agar
x
x
agar
x
F
5.
X
uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi butun
Ox
о‘qda
tenglik bilan berilgan.
C
о‘zgarmas parametrni toping.
6.
X
tasodifiy miqdor (0,1) intervalda
zichlik
funksiyasi bilan
berilgan; bu intervaldan tashqarida
0
)
(
x
f
.
X
miqdorning matematik
kutilmasini toping
.
J:
2
( )
3
M X
7.
X
tasodifiy miqdor (0,1)intervalda
zichlik
funksiyasi
bilan berilgan; bu intervaldan tashqarida
0
)
(
x
f
.
а
)
c
parametrni toping;
b
)
X
miqdorning matematik kutilmasini toping.J
:
а
)
16
11
)
;
4
3
X
M
b
c
.
8. Ushbu
да
x
да
x
x
да
x
x
F
4
,
1
4
0
,
4
0
,
0
)
(
taqsimot funksiyasi bilan berilgan
X
tasodifiy miqdorning matematik
kutilmasini toping.
9.
X
tasodifiy miqdor (2, 4) intervalda
6
2
9
4
3
)
(
2
x
x
x
f
zichlik
funksiya bilan berilgan; bu intervaldan tashqarida
0
)
(
x
f
.
X
miqdorning
modasini, matematik kutilmasini va medianasini toping.
10.
X
tasodifiy miqdor (0, π) intervalda
x
x
f
sin
2
1
)
(
zichlik funksiya bilan
berilgan; bu intervaldan tashqarida
0
)
(
x
f
.
X
ning dispersiyasini toping.
49
§ 8. Uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimot qonunlari
Bu paragrafda real sotsial-iqtisodiy jarayonlarning nazariy –ehtimoliy
modellarini qurish uchun kо‘p qо‘llaniladigan uzluksiz tasodifiy miqdor
taqsimot qonunlarini keltiramiz.
8.1 Tekis taqsimot qonuni
Agar tasodifiy miqdorning zichlik
funksiyasi biror oraliqda о‘zgarmas
bо‘lib, oraliqdan tashqarida nolga teng bо‘lsa, tasodifiy miqdor shu oraliqda
tekis taqsimlangan
deyiladi.
X
uzluksiz tasodifiy miqdorning
)
(
x
f
zichlik funksiyasi (
a
,
b
) intervalda
о‘zgarmas
A
ga teng bо‘lib, uning tashqarisida esa 0 ga teng bо‘lsin. Zichlik
funksiyaning xossasidan
b
a
Adx
dx
x
f
1
)
(
va bu yerdan,
a
b
A
1
U holda,
b
x
agar
b
x
a
agar
a
b
a
x
agar
x
f
,
0
,
1
,
0
(8.1)
(8.1) tekis
taqsimot zichlik funksiyasi
deyiladi.
О‘tgan mavzu (7.8) formulasidan foydalanib, tekis taqsimotning taqsimot
funksiyasini topamiz( (7.10)ga qarang ):
b
x
agar
b
x
a
agar
a
b
a
x
a
x
agar
x
F
,
1
,
,
0
(8.2)
taqsimot funksiyasining grafigi
5-chizma
Tekis taqsimotning matematik kutilmasini topamiz.
b
a
b
a
b
a
a
b
a
b
x
a
b
dx
a
b
x
dx
x
xf
X
M
2
2
1
2
1
)
(
2
2
2
50
Bu yerdan kо‘rinadiki, (
a
,
b
) oraliqda tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning
matematik kutilmasi shu oraliq markazida (о‘rtasida) bо‘ladi. Endi tekis
taqsimot dispersiyasini hisoblaymiz:
.
2
b
a
X
M
2
X
M
ni topamiz:
b
a
b
a
b
ab
a
a
b
a
b
x
a
b
dx
х
a
b
dx
x
f
x
X
M
3
)
(
3
3
1
1
)
(
2
2
3
3
2
2
2
Shunday qilib,
;
12
)
(
2
3
2
2
2
2
a
b
b
a
b
ab
a
X
D
bu yerdan,
3
2
a
b
X
.
1-misol.
Metropolitenda poyezdlar qat’iy jadval bо‘yicha qatnaydi. Harakat
intervali 5 minut. Bekatga kelgan yо‘lovchi navbatdagi poyezdni 3 minutdan
kam kutish ehtimolligini toping.
Do'stlaringiz bilan baham: |
