Mustaqil ishi tayyorladi: Qabul qildi Mavzu: Qism fazolar. Qism fazolarining yig’indisi va kesishmasi. Grasman tengligiga doir masalalar yechish. Reja

29.4-teorema. Agar A chiziqli almashtirish n ta chiziqli erkli xos vektorlarga ega bo‘lsa, u holda A almashtirish matritsasini diagonal shaklga keltirish mumkin. Aksincha, agar biror bazisda almashtirish matritsasi diagonal shaklda bo‘lsa, u holda bu bazisning vektorlari xos vektorlardan iboratdir.
Quyidagi tasdiqda turli xos sonlarga mos keluvchi xos vektorlar chiziqli erkli ekanligini ko‘rsatamiz.

29.5-tasdiq. Agar
e₁, e₂ , ..., e_k
vektorlar A chiziqli almashti-

rishning xos vektorlari bo‘lib, ularga mos keluvchi
₁, ₂ , ..., _k
xos

sonlar turli xil bo‘lsa, u holda e₁, e₂ , ..., e_k vektorlar chiziqli erklidir.
Isbot. Buni ko‘rsatish uchun induksiya usulidan foydalanamiz. k  1 ^{uchun bu tasdiq o‘z-o‘zidan ravshan. Endi ushbu tasdiqni} k 1 ^{ta xos vektor uchun o‘rinli deb, uni} k ^{ta xos vektor uchun isbot} qilamiz.
Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni

₁e₁  ₂e₂  ...  _ke_k  0
(29.3)

tenglik
₁, ₂ , ..., _k
koeffitsientlardan kamida bittasi noldan farqli

bo‘lganda o‘rinli bo‘lsin. Aytaylik, ₁  0 bo‘lsin, u holda yuqoridagi tenglikning xar ikkala tomoniga A almashtirishni tadbiq qilamiz:
A(₁e₁  ₂e₂ ...  _ke_k )  0,

ya’ni


₁₁e₁  ₂₂e₂ ...  _k_ke_k  0.

(29.4)

(29.3) tenglikni _k
ga ko‘paytirib (29.4) tenglikdan ayirsak,

ushbu ifodani hosil qilamiz:
₂ (₁  _k )e₁  ₂ (₂  _k )e₂ ...  _{k 1}(_k1  ₁)e_k1  0.

Induksiya faraziga ko‘ra,
e₁, e₂ , ..., e_{k 1}
vektorlarning chiziqli

erkliligi va
_i  _j
ekanligidan biz
₁  ₂  ...  _{k 1}  0
tenglikni

hosil qilamiz. Bu esa ₁  0
vektorlar chiziqli erkli.
degan farazga zid. Demak
e₁, e₂ , ..., e_k

Yuqoridagi tasdiqdan bevosita quyidagi natija kelib chiqadi.
29.5-natija. Agar A chiziqli almashtirishning xarakteristik ko‘phadi n ta xar hil ildizga ega bo‘lsa, u holda A almashtirish matritsasini diagonal shaklga keltirish mumkin.

Haqiqatdan ham, xarakteristik tenglamaning xar bir _k
ildiziga

kamida bitta xos vektor to‘g‘ri keladi. Bu vektorlarga mos bo‘lgan xos qiymatlarning hammasi turlicha bo‘lganligi uchun, yuqoridagi

tasdiqqa muvofiq n ta chiziqli erkli
e₁, e₂ , ..., e_n
xos vektorlarga ega

bo‘lamiz. Bu vektorlarni bazis sifatida olsak, A almashtirishning matritsasi diagonal ko‘rinishga keladi.
Agar xarakteristik ko‘phad karrali ildizlarga ega bo‘lsa, u holda chiziqli erkli xos vektorlarning soni n dan kichik bo‘lishi mumkin.
Masalan, darajasi n dan oshmaydigan ko‘phadlar fazosida har bir ko‘phadga uning hosilasini mos qo‘yuvchi A almashtirish faqat bitta   0 xos qiymatga va bitta P(t)  const xos vektorga ega.

Haqiqatdan ham, darajasi
k  0
bo‘lgan xar qanday
P(t)

ko‘phad uchun
P^(t)
ko‘phadning darajasi
k 1 ga teng va shuning

uchun
P^(t)  P(t)
tenglik faqat
  0 va
P(t)  const
bo‘lgan

holdagina bajariladi.