Mustaqil ishi tayyorladi: Qabul qildi Mavzu: Qism fazolar. Qism fazolarining yig’indisi va kesishmasi. Grasman tengligiga doir masalalar yechish. Reja

23.3-natija. V₁  V
qism fazo bo‘lishi uchun ixtiyoriy
x, y V₁

va ixtiyoriy ,   uchun x  y V₁ bo‘lishi zarur va yetarli.
Endi qism fazolarga doir misollarni keltirib o‘tamiz.
Misol 23.1 a) Faqat nol vektordan iborat bo‘lgan qism to‘plam va V fazoning o‘zi V da qism fazo bo‘ladi. Bu qism fazolar V ning xosmas qism fazolari deyiladi;

2. 
   tekislikda koordinata boshidan o‘tuvchi ixtiyoriy to‘g‘ri
   

chiziqdagi vektorlar to‘plami qism fazo tashkil etadi;

2. 
   uch o‘lchamli fazoda koordinata boshidan o‘tuvchi
   

ixtiyoriy tekislikda joylashgan vektorlar to‘plami qism fazo tashkil qiladi;

2. 
   Darajasi n dan oshmaydigan ko‘phadlar fazosi
   

P_n (x) da

darajasi
k(k  n)
dan oshmaydigan ko‘phadlar to‘plami
P_k (x)
qism

fazo tashkil qiladi;
Yuqoridagi misollardan ko‘rinib turibdiki, biror fazoning qism fazolari cheksiz ko‘p bo‘lishi mumkin.

21. 
    fazoning ixtiyoriy M qism to‘plami uchun, M dan olingan
    

vektorlarning chiziqli kombinatsiyalari orqali hosil qilingan barcha

vektorlar to‘plamini
M  kabi belgilaymiz. Hosil bo‘lgan to‘plamga

M to‘plamning chiziqli qobig‘i deyiladi.

Ravshanki, M to‘plamning chiziqli qobig‘i V fazoning qism

fazosi bo‘ladi. ataladi.
M  fazoning o‘lchami M to‘plamning rangi deb

Yuqoridagi mulohazadan kelib chiqadiki, agar dimV  n bo‘lsa,

u holda V fazo
m(m  n)
o‘lchamli qism fazolarga ega. Xususan,

agarda V fazoning
e₁, e₂ , ..., e_n
bazis vektorlaridan tuzilgan

M {e₁, e₂ , ..., e_m} qism to‘plam uchun, M   e₁, e₂ , ..., e_m  chiziqli qobiqni qarasak, u m o‘lchamli qism fazo bo‘ladi.

Bundan tashqari V chiziqli fazonining o‘zini
e₁, e₂ , ..., e_n
bazis

vektorlaridan tuzilgan qobiq deb qarashimiz mumkin.
23.4-ta’rif. Bizga V fazoning qandaydir V ^ qism fazosi berilgan

bo‘lsin. Ixtiyoriy a V
vektor uchun, ushbu

V_a^ = a V ^ = {a  x | x V ^}  V
qism to‘plamga V ^ qism fazoni a vektorga siljitishdan hosil bo‘lgan
gipertekisligi deb ataladi.

Aytaylik,
L₁, L₂  V
qism fazolar berilgan bo‘lib, L₁

ularning to‘plam ma’nosidagi kesishmasi bo‘lsin. Ravshanki, L₁
qism to‘plam bo‘sh emas, chunki nol vektor har bir qism fazoga tegishli.

23.5-teorema.

fazo bo‘ladi.
L₁, L₂
qism fazolarning kesishmasi L₁
qism

Isbot. Ixtiyoriy ,  sonlar va
x, y  L₁
vektorlarni olaylik.

Ma’lumki, x, y  L₁ va x, y  L₂ . L₁ va L₂ qism fazo bo‘lganligi uchun

x  y  L₁ va x  y  L₂ . Demak, x  y  L₁
bo‘ladi.


Endi qism fazolarning to‘plam sifatida birlashmasi L₁ ni
qaraymiz. Bu to‘plam xar doim ham qism fazo bo‘lavermaydi.

Masalan, tekislikda
L₁ sifatida OX o‘qida yotuvchi vektorlar

to‘plamini, L₂ sifatida OY o‘qida yotuvchi vektorlar to‘plamini olsak,

L₁ va L₂ qism fazolar bo‘lib, ularning birlashmasi qism fazo

bo‘lmaydi.
Endi qism fazolarning yig‘indisi tushunchasini kiritamiz.


L₁, L₂

qism fazolarning yig‘indisi deb
x = x₁  x₂ ,
x₁  L₁,
x₂  L₂

ko‘rinishidagi vektorlar to‘plamiga aytiladi va belgilanadi, ya’ni
L₁  L₂
kabi

L₁  L₂ = {x₁  x₂ | x₁  L₁, x₂  L₂}.

23.6-teorema.

qism fazo bo‘ladi.
L₁, L₂
qism fazolarning yig‘indisi
L₁  L₂
yana

Isbot. Haqiqatan ham, agar ixtiyoriy
,   va
x, y  L₁  L₂

bo‘lsa, u holda
bundan
x = x₁  x₂ ,
y = y₁  y₂ ,
x₁, y₁  L₁,
x₂ , y₂  L₂
bo‘lib,

x  y = (x₁  x₂ )  ( y₁  y₂ ) = (x₁  y₁ )  (x₂  y₂ )  L₁  L₂
ekanligi kelib chiqadi. 
Endi qism fazolar kesishmasi va yig‘indisini o‘lchamlari orasidagi munosabatni beruvchi teoremani keltiramiz.

23.7-teorema. V fazoning chekli o‘lchamli
L₁ ,
L₂ qism

fazolarining o‘lchamlari yig‘indisi ularning kesishmasi va yig‘indisi o‘lchamlarining yig‘indisiga tengdir, ya’ni
dim L₁  dim L₂ = dim L₁ L₂  dim(L₁  L₂ ).

Isbot. Faraz qilaylik,
dim L₁
L₂ = k bo‘lib,
e₁,e₂ ,...,e_k
uning

qandaydir bazisi bo‘lsin. L₁
L₂  L₁ va L₁
bo‘lganligi

uchun,
dim L₁ = k  s
dim L₂ = k  t
deb olishimiz mumkin.

Tanlangan
e₁, e₂ , ..., e_k
bazisni
L₁ va
L₂ qism fazolarning

bazislarigacha to‘ldiramiz, ya’ni
e₁, e₂ , ..., e_k , f₁, f₂ , ..., f_s
vektorlar L₁ qism fazoning bazisi
e₁, e₂ , ..., e_k , g₁, g₂ , ..., g_t
vektorlar esa L₂ qism fazoning bazisi bo‘lsin. Biz

f₁, f₂ ,..., f_s ,e₁,e₂ ,...,e_k , g₁, g₂ ,..., g_t
(23.1)

vektorlarni
L₁  L₂
fazoda bazis bo‘lishini ko‘rsatamiz. Dastlab,

ularning chiziqli erkli ekanligini aniqlaymiz. Faraz qilaylik,
₁ f₁  ₂ f₂ ...  _s f_s  ₁e₁  ₂e₂ ...  _ke_k ₁g₁ ₂ g₂ ... _t g_t  0
bo‘lsin. U holda
₁ f₁  ₂ f₂ ...  _s f_s  ₁e₁  ₂e₂ ...  _ke_k = ₁g₁ ₂ g₂ ... _t g_t bo‘lib, tenglikning chap tomoni L₁ ga o‘ng tomoni esa L₂ ga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Demak, tenglikning chap va o‘ng tomonlari

L₁ qism fazoga tegishli.
e₁, e₂ , ..., e_k
vektorlar L₁
da bazis

bo‘lganligi uchun
₁g₁  ₂ g₂  ... _t g_t
vektorni ular bazis orqali

chiziqli ifodalash mumkin, ya’ni qandaydir c₁, c₂ , ..., c_k lar uchun
₁g₁ ₂ g₂ ... _t g_t = c₁e₁  c₂e₂ ...  c_ke_k . tenglik o‘rinli. Bundan
c₁e₁  c₂e₂ ...  c_ke_k ₁g₁ ₂ g₂ ... _t g_t = 0
hosil bo‘ladi, bu vektorlarning chiziqli erkli ekanligidan
c₁  c₂  ...  c_k ₁  ₂  ... _t = 0
kelib chiqadi. Bularni yuqoridagi tenglikka olib borib qo‘ysak,
₁ f₁  ₂ f₂ ...  _s f_s  ₁e₁  ₂e₂ ...  _ke_k = 0

tenglik hosil bo‘ladi.
e₁, e₂ , ..., e_k , f₁, f₂ , ..., f_s
vektorlarning chiziqli

erkli ekanligidan
₁ = ₂ = ... = _s = 0,
₁ = ₂ = ... = _s = 0
kelib

chiqadi. Demak, (23.1) vektorlar sistemasi chiziqli erkli ekan.

Endi ixtiyoriy
x  L₁  L₂
vektorni (23.1) vektorlar sistemasi

orqali chiziqli ifodalanishini ko‘rsatamiz. Ta’rifga asosan, x = x₁  x₂ ,

x₁  L₁,
yoysak,
x₂  L₂ , bo‘lib,
x₁ va x₂ vektorlarni bazis vektorlar orqali

x₁ = a₁e₁  a₂e₂ ...  a_ke_k  a_k1 f₁ ...  a_{k s} f_s
va
x₂ = b₁e₁  b₂e₂ ...  b_ke_k  b_k1g₁ ...  b_{k t} g_t
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bundan esa
x  x₁  x₂ = (a₁  b₁ )e₁  (a₂  b₂ )e₂ ...  (a_k  b_k )e_k 

a_k1 f₁  a_k2 f₂ ......  a_ks f_s  b_k1g_k1  b_k2 g_k2 ...  b_kt g_t
hosil bo‘ladi.

Demak, ixtiyoriy
x  L₁  L₂
vektorni (23.1) vektorlarning

chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalash mumkin. Shunday qilib, biz

(23.1) vektorlar sistemasi
L₁  L₂
qism fazoning bazisi ekanligini

ko‘rsatdik. Bundan esa, dim(L₁  L₂ ) = s  k  t
ya’ni
ekanligi kelib chiqadi,

dim(L₁  L₂ ) = dim L₁  dim L₂  dim(L₁

23.8-ta’rif. Agar L₁ L₂ = {0} bo‘lsa, L₁ va L₂ qism fazolarning
yig‘indisiga to‘g‘ri yig‘indi deyiladi va L₁  L₂ ko‘rinishida yoziladi.
Ravshanki, L₁ va L₂ qism fazolarning to‘g‘ri yig‘indilari uchun
dim(L₁  L₂ ) = dim L₁  dim L₂
tenglik o‘rinli bo‘ladi.