Mustaqil ishi tayyorladi: Qabul qildi Mavzu: Qism fazolar. Qism fazolarining yig’indisi va kesishmasi. Grasman tengligiga doir masalalar yechish. Reja

23.9-teorema.

L₁  L₂
to‘g‘ri yig‘indining ixtiyoriy vektori L₁

va L₂ qism fazolar vektorlarining yig‘indisi shaklida yagona ravishda ifodalanadi.
Isbot. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni

x = x₁  x₂ ,
va
x = y₁  y₂ ,
x₁  L₁,


y₁  L₁,
x₂  L₂


y₂  L₂

bo‘lsin. U holda bu tengliklardan
y₁  x₁  x₂  y₂ hosil bo‘ladi.

ekanligidan
y₁  x₁  L₁ , x₂  y₂  L₂ va L₁
L₂ = {0}

y₁  x₁ = x₂  y₂ = 0 
x₁ = y₁,
x₂ = y₂

kelib chiqadi.

Shuni ta’kidlash joizki, V fazoning bir nechta
L₁, L₂ ,..., L_s , qism
s

fazolari uchun ham
qism fazolarning kesishmasi va
^{ L}i
i1

yig‘indisini aniqlash mumkin.

Invariant qism fazolar. Agar V chiziqli fazoda biror chiziqli yoki bichiziqli funksiya berilgan bo‘lib, bu funksiya faqat V fazoning
biror V₁ qism fazosidagina aniqlangan bo‘lsa, u holda biz uni V₁ da

berilgan deb hisoblashimiz, ya’ni V o‘rniga faqat V₁
mumkin.
ni qarashimiz

Chiziqli almashtirishlarga keladigan bo‘lsak, bu yerda holat

butunlay boshqacha bo‘ladi. Darhaqiqat, chiziqli almashtirish V₁
qism

fazoning biror vektorini V₁
ga tegishli bo‘lmagan vektorga o‘tkazib

yuborishi ham mumkin. Bunday holatda biz faqat V₁ qism fazo bilan chegaralanib qola olmaymiz.
29.1-ta’rif. V chiziqli fazo va A chiziqli almashtirish berilgan
bo‘lsin. Agar V₁ qism fazoning ixtiyoriy x elementi uchun Ax vektor

ham V₁
ga tegishli bo‘lsa, u holda V₁
qism fazo A chiziqli

almashtirishga nisbatan invariant qism fazo deyiladi.
Ta’rifdan ko‘rinadi-ki, A chiziqli almashtirishni biror qism fazoda qarashimiz uchun, u invariant qism fazo bo‘lishi kerak.
Misol 29.1. a) Faqat noldangina iborat bo‘lgan qism fazo va butun fazo invariant qism fazolardir. Bu qism fazolar trivial invariant qism fazolar deyiladi.

2. 
   uch o‘lchamli fazoda vektorni noldan o‘tgan biror o‘q
   

atrofida burishdan iborat bo‘lgan chiziqli almashtirishni qaraylik. Bu holda aylanish o‘qi bir o‘lchamli invariant qism fazo, koordinatalar

boshidan o‘tib, bu o‘qqa ortogonal bo‘lgan tekislik esa ikki o‘lchamli invariant qism fazo bo‘ladi.

2. 
   tekislikda (ikki o‘lchamli fazo) A chiziqli almashtirish
   

tekislikni X o‘q bo‘yicha
₁ marta, Y o‘q bo‘yicha ₂
marta

cho‘zishdan iborat bo‘lsin. Boshqacha aytganda, agar
z  ₁e₁  ₂e₂

uchun
Az  ₁₁e₁  ₂₂e₂ , bu yerda e₁, e₂ o‘qlardagi birlik vektorlar.

Bu holda X hamda Y koordinata o‘qlari bir o‘lchamli invariant qism

fazolar bo‘ladi. Agar
₁  ₂  
bo‘lsa, u holda koordinatalar

boshidan o‘tgan ixtiyoriy to‘g‘ri chiziq invariant qism fazo bo‘ladi.

Xos son va xos vektorlar. V fazo va undagi biror
x  0

vektordan hosil bo‘lgan bir o‘lchamli V₁
qism fazo berilgan bo‘lsin.

Ma’lumki, V₁
fazo x ko‘rinishidagi elementlardan tashkil topadi. V₁

fazo invariant bo‘lishi uchun Ax vektor ham V₁ da yotishi, ya’ni
Ax  x

bo‘lishi zarur va yetarlidir.
29.2-ta’rif. Ax  x

munosabatni qanoatlantiruvchi

x  0

vektor A chiziqli almashtirishning xos vektori, unga mos keluvchi 
son esa xos son deyiladi.
Shunday qilib, agar x vektor xos vektor bo‘lsa, u holda x
vektorlar to‘plami bir o‘lchamli invariant qism fazoni tashkil qiladi. Aksincha, bir o‘lchamli invariant qism fazoning noldan farqli barcha vektorlari xos vektorlardir.
29.3-teorema. V kompleks fazoda xar qanday A chiziqli
almashtirish kamida bitta xos vektorga ega.

Isbot. V fazoda biror
e₁, e₂ , ..., e_n
bazis tanlab olamiz. Bu

bazisda A chiziqli almashtirishning matritsasi (a_{i, j} ) bo‘lsin. Ixtiyoriy

x  ₁e₁  ₂e₂  ...  _ne_n V
vektor uchun Ax vektorni qarasak,

Ax  ₁ A(e₁ )  ₂ A(e₂ )  ...  _n A(e_n ) 
₁ (a_1,1e₁  a_2,1e₂ ...  a_n,1e_n )  ₂ (a_1,2e₁  a_2,2e₂ ...  a_n,2e_n ) 
...  _n (a_1,ne₁  a_2,ne₂ ...  a_n,ne_n ) 
(a_1,1₁  a_1,2₂ ...  a_1,n_n )e₁  (a_2,1₁  a_2,2₂  ...  a_2,n_n )e_n 

...  (a_n,1₁  a_n,2₂ ...  a_n,n_n )e_n ^,

bo‘ladi. Demak,
x  ₁e₁  ₂e₂  ...  _ne_n
vektor xos vektor bo‘lishi,

ya’ni Ax  x shart bajarilishi uchun
^a_1,1^₁ ^{ a}_1,2^₂ ^{ ...  a}_1,n^_n ^{ }₁ ^,
a   a   ...  a    ,
^ 2,1 1 2,2 2 2,n n 2

_..............................................,
_^a_n,1₁  a_n,2₂  ...  a_n,n_n  _n
tengliklar o‘rinli bo‘lishi kerak. Boshqacha aytganda, agar
^(a_1,1 ^{ )}₁ ^{ a}_1,2^₂ ^{ ...  a}_1,n^_n ^{ 0,
}a   (a  )  ...  a   0,

^ 2,1 1 2,2 2 2,n n

(29.1)

_...................................................,
_^a_n,1₁  a_n,2₂  ...  (a_n,n  )_n  0,
bir jinsli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo‘lsa, x
xos vektor mavjud bo‘ladi.
Shunday qilib, teoremani isbot qilish uchun (29.1) sistemani qanoatlantiradigan  sonini va bir vaqtning o‘zida nolga teng

bo‘lmaydigan kerak.
₁, ₂ , ..., _n
sonlarning mavjud ekanligini ko‘rsatish

Ma’lumki, bir jinsli tenglamalar sistemasining noldan farqli
yechimi mavjud bo‘lishi uchun uning determinanti nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli, demak

a_1,1  
^a2,1
^a1,2
a_2,2  
...
...
^a1,n ^a2,n
 0.
(29.2)

... ... ... ...

^an,1
^an,2
...
a_n,n  

Ushbu determinantdan biz  ga nisbatan n -darajali tenglama hosil qilamiz. Algebraning asosiy teoremasiga ko‘ra, kompleks sonlar maydonida xar qanday ko‘phad kamida bitta ildizga ega bo‘lganligi uchun, bu tenglama ham ₀ ildizga ega.

(29.1) sistemada  ning o‘rniga ₀ ildizni qo‘ysak, hosil bo‘lgan
bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega ^{bo‘ladi. Ushbu noldan farqli yechimni}  ⁰ ,  ⁽⁰⁾ , ...,  ^{(0) deb olsak,}

_x0 _{ } (0)_{e  } (0)_e
1 2 n

1 1 2 2

n n
 ...   ⁽⁰⁾e

xos vektorni va unga mos keluvchi ₀ xos sonni hosil qilamiz, chunki

0
Ax⁰   x^{0 tenglik bajariladi. }
Eslatma. Agar A chiziqli almashtirishni butun fazoda emas, balki uning biror invariant qism fazosida qaralsa, u holda teoremaning isboti o‘z kuchini saqlaydi. Demak, ixtiyoriy invariant qism fazoda ham A chiziqli almashtirish kamida bitta xos vektorga ega.
(29.2) tenglama A chiziqli almashtirish matritsasining xarak- teristik tenglamasi, uning chap tomonida hosil bo‘ladigan ko‘phad esa xarakteristik ko‘phadi deyiladi.
Teoremani isbotlash jarayonida biz xarakteristik ko‘phadning ildizlari A chiziqli almashtirishning xos sonlari ekanligini, va aksincha, A chiziqli almashtirishning xos sonlari xarakteristik tenglamaning ildizlari ekanligini ko‘rsatdik.
Endi xarakteristik ko‘phad bazisning tanlab olinishiga bog‘liq emasligini ko‘rsatamiz. Yuqorida A almashtirishning xarakteristik ko‘phadini A  E matritsaning determinanti sifatida aniqladik. Bazis

o‘zgarganda chiziqli almashtirishning A matritsasi C^1AC
ko‘rinishni

oladi, bu yerda C eski bazisdan yangi bazisga o‘tish matritsasi. Yangi

bazisda xarakteristik ko‘pxad determinantiga teng bo‘ladi. Ammo
C^1AC  E
matritsaning

| C^1AC  E || C^1AC  C^1EC || C^1(A  E)C |
| C^1 |  | A  E |  | C || A  E |  | C^1 |  | C || A  E | tenglikdan bazis o‘zgarganda xarakteristik ko‘phad o‘zgarmasligi kelib chiqadi.
Demak, kelgusida chiziqli almashtirish matritsasining xarakteristik ko‘phadi emas, balki chiziqli almashtirishning xarakteristik ko‘phadi deb yuritishimiz mumkin.

n -o‘lchamli chiziqli fazoda berilgan chiziqli almashtirishlar orasida n ta chiziqli erkli xos vektorlarga ega bo‘lgan chiziqli almashtirishlar ma’lum ma’noda eng sodda chiziqli almashtirishlar hisoblanadi. Agar A shunday chiziqli almashtirish bo‘lsa, u holda e₁, e₂ , ..., e_n ^{chiziqli erkli xos vektorlarni} V ^{fazoning bazisi deb qabul} qilish mumkin. U holda
Ae₁  ₁e₁,
Ae₂  ₂e₂ ,
Ae_n  _ne_n
ekanligidan A almashtirishning bu bazisdagi matritsasi


 ^₁ ^{0 ... 0} 

0



_ ₂ ... 0
^ ... ... ... ... ^
 0 0 ...  ^
 n 
ko‘rinishga keladi. Bundan quyidagi teorema kelib chiqadi.