Mustaqil ishi mavzu: Ko’p o`zgaruvchili ko’phadni leksikografik tartibda yozish. Toshkent 2022

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI NIZOMIY NOMIDAGI TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI

“Matematika va informatika” bakalavriat ta’lim yo’nalishi

201-guruh talabasi Boymirzayeva Irodaning
“KO’P O’ZGARUVCHILI KO`PHADLAR NAZARIYASI” fanidan
MUSTAQIL ISHI


Mavzu: Ko’p o`zgaruvchili ko’phadni leksikografik tartibda yozish.

TOSHKENT 2022
REJA:
Kirish
Asosiy qism.
1.Ko’p o`zgaruvchili ko’phadlar
2. Ko’p o`zgaruvchili ko’phadni leksikografik tartibda yozish.
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar

KIRISH
Shuni unutmasligimiz kerakki, kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida yaratiladi, boshqacha aytganda, xalqimizning ertangi kuni qanday bo‘lishi farzandlarimizning bugun qanday ta’lim va tarbiya olishiga bog‘liq.
Shuning uchun ham mustaqillikning dastlabki yillaridanoq butun mamlakat miqyosida ta’lim va tarbiya, ilm-fan, kasb-hunar o‘rgatish tizimlarini tubdan isloh qilishga nihoyatda katta zarurat sezila boshladi.
Ta’lim-tarbiya tizimidagi islohotlar boshlangan dastlabki yillarda men jahon tajribasi va hayotda o‘zini ko‘p bor oqlagan haqiqatdan kelib chiqib, agar bu maqsadlarimizni muvaffaqiyatli ravishda amalga oshira olsak, tez orada hayotimizda ijobiy ma’nodagi «portlash effekti» ga, ya’ni, yangi ta’lim modelining kuchli samarasiga erishamiz, degan fikrni bildirgan edim.
Darhaqiqat, istiqlol davrida barpo etilgan, barcha shart-sharoitlarga ega bo‘lgan akademik litsey va kasb-hunar kollejlari, oliy o‘quv yurtlarida tahsil olayotgan, zamonaviy kasb-hunar va ilm-ma’rifat sirlarini o‘rganayotgan, hozirdanoq ikki-uch tilda bemalol gaplasha oladigan ming-minglab o‘quvchilar, katta hayotga kirib kelayotgan, o‘z iste’dodi va salohiyatini yorqin namoyon etayotgan yosh kadrlarimiz misolida ana shunday orzu-intilishlarimiz bugunning o‘zida o‘z hosilini berayotganining guvohi bo‘lmoqdamiz.
Bizga ma’lumki ko’phadlar nazariyasi algebra va sonlar nazariyasi fanining muhim rivojlanayotgan tarmoqlaridan biri bo’lib hisoblanadi. Ayniqsa ko’phadlar nazariyasining ko’p o’zgaruvchili ko’phadlar bo’limi salohiyati va amaliy qo’llana bilishi jihatidan muhim kasb egallaydi. Bu kurs ishda asosan ko’p o’zgaruvchili ko’phadlar va uning normal ifodasini topish,ko’phadlarning darajasi haqida fikr yuritiladi.
Ko’p o’zgaruvchili ko’phadlar .
Ko‘phad deb bir nechta birhadning algebraik yig‘indisiga aytiladi.
Ko‘phadlarga quyidagilarni misol qilib ko`rsatish mumkin.
4ab2c – birhad,
2ab–3bc – ikkihad,
4ab+3ac–bc – uchhad.
Ko‘phadning hadlari ko‘phadni tashkil qiluvchi birhadlardir. Masalan, 2аb2–3а2b+7ас–4bс ko‘padning hadlari 2ab2, –3а2b, 7ac, –4bc bo‘ladi.
Ko‘phadning standart shakli – barcha hadlari standart shaklda yozilgan va ularning orasida o‘xshashlari o‘lmagan ko‘phadning yozuvi.
TA’RIF. Kamida ikkita o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan ko’phad ko’p o`zgaruvchili ko’phad deyiladi.
Ko’p o`zgaruvchili ko’phadlar 2,3,4,..., nomalumli bo’lishi mumkin. o`zgaruvchili ko’phad odatda orqali belgilanadi. nomalumli ko’phad

ko’rinishdagi chekli sondagi hadlarning algebraik yig’indisidan iborat bo’lib, bu yerda (i=1, ) lar sonlar maydoniga tegishli bo’lgan butun sonlardir.
Faraz qilaylik, bizga birlik elementga ega bo’lgan biror R butunlik sohasi berilgan bo’lsin.
TA’RIF.. bo’lganda
(1.1)
Ifoda butunlik sohasi ustida berilgan ko’phad deyiladi. - bu yerda manfiy emas butun sonlar bo’lib deb olinadi (1) ifodada uchraydigan , simvollar deb qaraladi. simvol odatda noma’lum ifoda deb yuritiladi . (1.1) ifodadagi lar (1.1) ko’phadning koeffitsiyentlari,  lar esa ko’phadning hadlari deyiladi.
Agar bo’lsa, bosh koeffitsiyent, esa bosh had deyiladi.
Bir o`zgaruvchili ko’phadlar odatda orqali belgilanadi. Ko’phadlarning o’zaro tengligi, ular ustida bajariladigan amallarni qarashdan oldin quyidagilarni ta’kidlab o’tamiz.

1. 
   Agar bo’lib bo’lsa, (1.1) ifodadan 
   

Ifoda,

2. 
   va bo’lsa, (1.1) dan ifoda;
   
3. 
   k_i =0 va da (1.1 )dan hosil bo’lgani tufayli  , va istalgan o’zgarmas sonlar ham ko’phadlar deb qaraladi.
   

Faraz qilaylik, va lar butunlik sohasi ustida berilgan ko’phadlar bo’lsin.
TA’RIF. Noma’lumning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari teng bo’lgan ko’phadlar o’zaro teng ko’phadlar deyiladi.
Masalan,
va
ko’phadlar o’zaro teng
va
 ko’phadlar o’zaro teng emas.
Bu ta’rifdan foydalanib biz har qanday ko’phadni doimo quyidagicha yozish mumkinligiga ishonch hosil qilamiz.
 (1.2)
Darajaning ta’rifiga asosan agar bo’lsa ko’phad - darajali deb yuritiladi esa ozod had deyiladi.
TA’RIF. Barcha koeffitsiyentlari nolga teng bo’lgan ko’phad nol ko’phad deyiladi.
Birhadlar yig‘indisi ko‘phad deyiladi. Masalan, , ifodalarning har biri ko‘phaddir. Ko‘phad tarkibidagi eng katta darajali birhadning darajasi shu ko‘phadning darajasi deyiladi.
Masalan, ko'phadning qo'shiluvchilari lug'aviy tartibda joylashtirilgan.Agar ko'phadning barcha hadlarida o'zgaruvchilarning ko'rsatkichlari yig'indisi ga teng bo'lsa, uni - darajali bir
jinsli ko 'phad deyiladi. Masalan, — birinchi darajali bir jinsli (bunda =l), — uchinchi darajali ( = 3) bir jinsli ko'phad.Agar birhad darajali bo'lsa, ixtiyoriy umumiy ko'paytuvchi uchun ga ega bo'lamiz. Agar ixtiyoriy soni uchun tenglik bajarilsa, ko'phad (funksiya) - darajali bir jinsli ko'phad (funksiya) bo'ladi. Masalan,

Funksiya 3-darajali bir jinsli funksiyadir, chunki .Shu kabi,
-uchinchi darajali , nolinchi darajali , birinchi darajali , bir jinsli funksiyalardir.
Kamida ikkita noma’lumga bog’liq bo’lgan ko’phad ko’p o`zgaruvchili ko’phad deyiladi.
Ko’p o`zgaruvchili ko’phadlar 2, 3, 4, …, o`zgaruvchili bo’lishi mumkin. algebraik yig’indisidan iborat bo’lib, bu yerda lar sonlar maydoniga tegishli bo’lgan butun sonlardir. n o`zgaruvchili ko’phadning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
(1.3)
n o`zgaruvchili ko’phad , , , … kabi belgilanadi.
lar (1.3) ko’phad hadlarining koeffitsiyentlari deyiladi. Bu yerda larni kabi yozish ham mumkin.
(1.3) ko’phadni

ko’rinishda ham yoziladi.
Agar bo’lsa, u holda (1.3) yig’indidagi har bir qo’shiluvchi ko’phadning hadi,

yig’indi esa bu hadning darajasi deb ataladi.
o`zgaruvchili ko’phadning darajasi deb shu ko’phaddagi qo’shiluvchi hadlar darajalarining eng kattasiga aytiladi.
Masalan, ratsional sonlar maydoni ustidagi

ko’phadda birinchi hadning darajasi , ikkinchi hadning darajasi , uchinchi hadning darajasi , to’rtinchi hadning darajasi bo’ladi. Ko’phadning darajasi esa ga teng.
(1.3) ko’phadning ba’zi yoki hamma koeffitsiyentlari, shuningdek, ba’zi yoki barcha daraja ko’rsatkichlari nolga teng bo’lishi mumkin. Masalan, , bo’lib, koeffitsiyent maydonning istalgan elementini bildirsa, (1.3) ko’phad

ko’rinishni oladi. Demak, P maydonning hamma elemantlari ham n o’zgaruvchili ko’phad deb hisoblanadi. Xususiy holda bo’lsa, u holda nol ko’phad xosil bo’ladi. Biz uni ko’rinishda belgilaymiz. bo’lsa, u holda ni nolinchi darajali ko’phad deyiladi. Nol ko’phadning darajasi aniqlanmagan.
Masalan, , .
(1.3) ko’phaddagi noma’lumlar bir-biriga bog’liq emas, ularni istalgan son qiymatni qiymatni qabul qila oladi deb hisoblaymiz. Boshqacha aytganda, har bir noma’lumning qiymatlari qolgan noma’lumlarning qiymatlari bilan bog’liq emas, noma’lum qolgan noma’lumlarning funksiyasi emas. Bunday o’zagruvchilar, odatda, erkin o’zgaruvchilar deb ataladi.
Aytilganlardan quyidagi natija chiqadi: hamma koeffitsiyentlardan aqalli bittasi nolga teng bo’lmasa, (1.3) ko’phad ham nol ko’phad bo’la olmaydi. Haqiqatan,

tenglikdagi qolgan noma’lumlarning oshkormas funksiyasi ekanini ko’ramiz.
Demak, shartdagina (1.3) ko’phad aynan nolga teng.
TA’RIF. va ko’phadlardan har birining istalgan

hadi uchun ikkinchisining ham xuddi shunday (aynan teng) hadi mavjud bo’lsagina, bu ikki ko’phad bir-biriga teng deyiladi.
<sub>Ko’p argumentli ko’phadni leksikografik tartibda yozilishi.
Biz bir o`zgaruvchili ko’phadlarni odatda ikki usulda , ya’ni noma’lumning darajalari o’sishi tartibida yozar edik. o`zgaruvchili ko’phadning bir necha hadlari bir xil darajada qatnashishi mumkin. Shuning uchun uni noma’lumlar darajalarining o’sishi yoki kamayishi tartibida yozish mumkin emas. Bunday ko’phadlarni ma’lum bir tartibda yozish uchun quyidagicha ish tutiladi: o’zgaruvchili ko’phad berilgan bo’lib, bu ko’phadning ikki hadidan qaysi birida ning darajasi katta bo’lsa, o’sha hadni yuqori deb hisoblaymiz. Bu hadlardagi ning darajalari teng bo’lgan holda esa qaysi birida ning darajasi katta bo’lsa, o’sha hadni yuqori deymiz va hokazo. Boshqacha aytganda, va ikkita had uchun noldan farqli ayirmalarning birinchisi musbat bo’lsa, birinchi had ikkinchi haddan yuqori deb ataladi.
Masalan, va hadlarda birinchisi ikkinchisisdan yuqori , va hadlarda esa ikkinchisi birinchisidan yuqori.
ko’phadni yozishda birinchi o’rinda eng yuqori hadni , ikkinchi o’ringa qolgan hadlar orasida eng yuqori bo’lgan hadni , uchinchi o’ringa qolgan hadlar orasida eng yuqori bo’lgan hadni va shu jarayon oxirgi had uchun yozilsa, u holda ko’phad leksikografik yozilgan deyiladi.
Masalan, ko’phadning leksikografik yozilishi quyidagicha bo’ladi:

TEOREMA. Ko’p o`zgaruvchili ko’phadlar ko’paytmasining eng yuqori hadi bu ko’phadlar eng yuqori hadlari ko’paytmasiga teng.
Isboti. Teoremani va ko’phad uchun isbotlaylik.
(1) had ko’phadning eng yuqori hadi,
(2)
esa uning istalgan hadi bo’lsin:
(3)
had ko’phadning eng yuqori hadi,
(4)
esa uning istalgan hadi bo’lsin.
Ushbu (5) va
(6)
Hadlarning qaysi biri yuqori had ekanligini aniqlaylik. (1) va (3) hadlar , mos ravishda , (2) va (4) hadlardan yuqori bo’lgani uchun va . Bundan .
Agar bo’lsa, (5) had (6) haddan yuqori: bo’lsa, kelib chiqadi. Ammo va amallar manfiy bo’lmagani uchun va yoki va degan natijaga kelamiz. U holda va bajarilib, ni hosil qilamiz. Agar bo’lib bo’lsa, (5) had (6) haddan yuqoridir; bo’lganda esa ,yuqoridagidek, va ekanini topamiz va hokazo. Bu jarayonni davom ettirib, (5) hadning (6) dan yuqoriligini isbotlaymiz.
Agar ning barcha qiymatlarida tengliklar bajarilsa, (2) had (1) ga va (4) had (3) ga aynan teng bo’ladi. Agar (2) va (4) hadlardan aqalli bittasi (1) va (3) ga teng bo’lmasa, biror uchun albatta tengsizlik bajariladi. Shunday qilib, va ning eng yuqori hadlarini ko’paytirish bilan tuzilgan (5) had ko’paytmaning eng yuqori hadini ifodalaydi.
Teorema ikkitadan ortiq ko’phadlar ko’paytmasi uchun matematik induksiya usuli bilan isbotlanadi.</sub>