Mustaqil ish mavzu : to’plam nazariyasi aksiomalari

O’zbekiston Respublikasi Axborot Texnologiyalari va Kommunikatsiyalarini Rivojlantirish Vazirligi Muhammad Al-Xorazmiy Nomidagi Toshkent Axborot Texnologiyalari Unversiteti

Diskret tuzilmalari fani bo’yicha

MUSTAQIL ISH

MAVZU : TO’PLAM NAZARIYASI AKSIOMALARI

Bajardi:Navruzbek Abdug`aniyev 211-20

Tekshirdi : Abrorjon Turgunov

TOSHKENT 2021

REJA:

1) To‘plamlar nazariyasining paydo bo‘lishi.

2)To’plam nazariyalari aksiomalari

3)HULOSA

To‘plamlar nazariyasining paydo bo‘lishi. Matematikada, shu jumladan, kombinatorika va graflar nazariyasida ham, turli to ‘plamlar bilan ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi. Masalan, kutubxonadagi barcha kitoblar to‘plami, to‘g‘ri burchakli uchburchaklar to‘plami, suvda hayot kechiruvchi tirik organizmlar to‘plami, natural sonlar to‘plami, koinotdagi yulduzlar to‘plami, to‘g‘ri chiziqda yotuvchi nuqtalar to‘plami va hokazo. To‘plamlar nazariyasiga fan sifatida XIX asrning oxirida matematikani standartlashtirish bo‘yicha o‘z dasturini taklif et- gan Kantor1 tomonidan asos solingan, deb hisoblansa-da, to‘plamlar bilan Kantordan oldinroq Bolsano2 shug‘ullangan.

' Kantor (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845 (Sankt-Peter- burg)— 1918) — olmon matematigi. 2 Bolsano (Bernard Bolzano, 1781 — 1848) — chex matematigi va faylasufl.

Kantoming fikricha, istalgan matematik obyekt (shu jumladan, to‘pIamning o‘zi ham) qandaydir to‘plamga tegishli bolishi shart. Berilgan xossaga ega bo‘lgan barcha obyektlar majmuasi uchun umumiy nomni Kantor to'plam, deb tushungan edi. Umuman olganda, to‘plam tushunchasiga qat’iy ta’rif berilmaydi, chunki uni boshqa soddaroq tushuncha orqali ifodalab bo'lmaydi. Masalan, to‘plamni matematik ibora sifatida tushuntirishda Kantor ham to‘plam so‘ziga sinonim bo‘lgan «majmua» SO‘zidan foydalangan. Georg Kantor Umuman olganda, to£plam so‘zining lug‘aviy ma’nosiga ko‘ra, uni tashkil etuvchilami bir joyga to‘plash (yig‘ish, jamlash) tushunilsa-da, matematikada to‘plam deganda, bunday yig‘ish talab etilmaydi, balki bu tashkil etuvchilarni birgalikda to‘plam sifatida qarash uchun ularning barchasiga tegishli qandaydir umumiy xossa (belgi)ning mavjudligi yetarlidir. To‘plamni tashkil etuvchilar shu to‘plamning elementlari, deb ataladi. To‘plamlar nazariyasida to‘plamning elementlari bir-biridan farqli, deb hisoblanadi, ya’ni muayyan bir to ‘plamning elementlari takrorlanmaydi. To‘plamni tashkil etuvchi elementlar soni chekli yoki cheksiz bo‘lishi mumkin. Birinchi holda chekli to ‘plamga, ikkinchi holda esa cheksiz to ‘plamga ega bolamiz. To‘plamlami belgilashda, odatda, lotin yoki yunon alifbosining bosh harflari, uning elementlari uchun esa kichik harflari qo‘lla- niladi. To‘plamni tashkil etuvchi elementlar figurali qavslar orasiga olinib ifodalanishi mumkin. Masalan, A to‘p!amning a,b,c,d,..., z elementlardan tuzilganligini A={a,b,c,d,..., z} ko‘rinishda yozish mumkin. Ko‘pincha (masalan, cheksiz to‘plam yoki to‘plamning elementlari juda ko‘p bo‘lgan holda) to‘plamni belgilashda figurali qavslar orasida, awalo, to‘plamni tashkil etuvchi elementning umumiy belgisi yozilib, undan so‘ng «|» yoki «:» belgisi qo‘yiladi, keyin esa, ifodalanayotgan to‘plamning barcha elementlariga xos shartlar yoziladi. Bunda, yozuvni murakkablashtirmaslik maqsa- dida, ba’zi qisqartirishlarga yoki tushuntiruvchi so‘zlaming qavs- lardan tashqarida yozilishiga yo‘l qo‘yiladi. Masalan, toq natural sonlar to‘plamini B, deb belgilasak, uni {m\m= 2л—1}, bunda

7

п — natural son yoki B = {m\m— 2n—\, ne N}' ko‘rinishda yozish mumkin. 1.2. To ‘plamlaming aksiomatik nazariyasi haqida tushunchalar. XX asming boshiga kelib, Kantoming matematikani standart- lashtirish bo‘yicha dasturining asosi bo‘lgan va <

1N — natural sonlar to‘plami (kitobning oxiridagi asosiy belgilashlarga qarang). 2 Rassel (Bertrand Arthur William Russell, 1872—1970) — mashhur ingliz faylasufi, 1950-yilda adabiyot sohasida Nobel mukofotiga sazovar bo‘lgan. 3 Paradoks (yunoncha jtapaSo^o^ so‘zi kutilmagan, tushunarsiz, g'ayrioddiy, taajjubli ma’nolarini beradi) — mantiqiy nuqtayi nazardan formal ravishda to‘g‘ri fikrlab, bir-biriga zid bo‘lgan natijalami hosil qilish. 4 Aksioma — isbotsiz qabul qilinadigan tasdiq. 5 Sermelo (Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, 1871—1953) — olmon matematigi. 6 Frenkel (Adolf Abraham Halevi Fraenkel, Ьрпв (tfrrrn) *Ъя s m , 1891—1965) — olmon va isroil matematigi. 7 Fon Neyman (John von Neyman, 1903 (Budapesht) — 1957) — AQSH matematigi, iqtisodchisi. 8 Bemeys (Paul Isaak Bemays, 1888 (London) — 1977) — Shveysariya matematigi. 9 Gyodel (Kurt Godel, 1906 (Brno) — 1978) — AQSH matematigi.

To’plam nazariyalari aksiomalari

Quyida tanlash aksiomasi qatnashgan Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimiga kiruvchi ba’zi aksiomalami keltiramiz.

Hajmiylik aksiomasi.

Ikki to‘plam faqat va faqat aynan bir xil elementlardan iborat bo‘lsagina teng bo‘ladi.

Hajmiylik aksiomasidan, to‘plamlar bo‘yicha ko‘plab tasdiqlami isbotlashda foydalanamiz. Hajmiylik aksiomasini boshqacha ifodalash ham mumkin. A to‘plamning har bir elementi В to'plamda ham mavjud va, aksincha, В to‘plamning har bir elementi A to‘plamda ham mavjud bo‘lsa, u holda A va В to‘plamlar tengdir. A va В to ‘plamlaming tengligini A=B yoki B=A ko‘rinishda ifodalaymiz. Aslida, A=B bo‘lsa, u holda A va. В to‘plamlar aynan bitta to‘plamning har xil belgilanishidir. Masalan, o‘nlik sanoq tizimidagi yozuvining oxirgi raqami 1, 3, 5, 7 yoki 9 raqamlaridan bin bo‘lgan natural sonlar to‘plamini A bilan, birni qo‘shganda ikkiga qoldiqsiz bo‘linadigan natural sonlar to‘plamini esa В bilan belgilasak, u holda A=B bo‘ladi. A=B to‘plamlardagi elementlaming qaysi tartibda joylashishiga bog‘liq emas. Albatta, to‘plamdagi elementlami qaysi tartibda qo‘yish masalasi ham dolzarbdir. A va В to‘plamlar teng bo‘lmasa, u holda bu holat А!=В yoki B!=A ko‘rinishda ifodalanadi.

Bo‘sh to ‘plam aksiomasi.

Bironta ham elementga ega bo‘lmagan to‘plam, ya’ni bo‘sh to ‘plam mavjud. Bo‘sh to‘plam uchun 0 belgisi qo‘llaniladi.

 3x–2=0 tenglamaning haqiqiy ildizlari to‘plami A va butun ildizlari to‘plami B ni toping.

       Yechish: 3x–2= 0 3x= 2  x=  Z.     Demak, A={ }  va B= Ø

Agar A va B to’plаmlаr bir хil elеmеntlаrdаn tаshkil tоpgаn bo’lsa bu to’plаmlаr tеng dеyilаdi. U holda to’liqlik aksiomasiga ko’ra agar ikkita to’plam bir xil elemantlar jamlanmasidan tuzilgan bo’lsa ular teng bo’ladi.

Masalan: Аgаr  А={1;2;3}={2;1;3}={1;1;2;3} to’plаmning hаr bir elеmеnti B to’plаmning hаm elеmеnti bo’lsа, А to’plаm B to’plаmning qism to’plami yoki to’plаm оsti dеyilаdi va yoki  оrqаli bеlgilаnаdi.AeB belgilanadi.

Juftlik aksiomasi.

Ixtiyoriy A va В to‘plamlar uchun shunday С to‘plam mavjudki, bu to‘plam elementlari faqat A va В to‘p- lamlardan iboratdir (ya’ni A va В to‘plamlar C ning yagona elementlaridir). С to‘plam {A, B} ko‘rinishda belgilanadi. Ushbu {A, B} ifoda A va В ning tartiblanmagan juftligi, deb ataladi. Agar A va В va to‘plamlar teng bo‘lsa, u holda Cbitta elementdan iboratdir. Tanlash aksiomasi. Bo‘sh bo‘lmagan va o‘zaro kesishmaydigan to'plamlar majmuasidagi har bir to‘plamdan bittadan «vakil» — element tanlab, shu elementlar to‘plami Cni tuzish mumkin. X to‘plam shu majmuaning qanday elementi bo‘lishidan qat’i nazar Xva С to‘plamlar faqatgina bitta umumiy elementga ega bo‘ladi. Albatta, bu aksiomalar (xuddi shuningdek, tanlash aksiomasi qatnashgan Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimining boshqa aksiomalari ham) bizga ofz-o‘zidan oydin bo‘lgan tasdiqlarga o‘xshab tuyiladi, chunki bizning tafakkurimiz to‘plamlar maj- muasini chekli deb tasawur qilishga o‘rgangan. To‘plamlar majmuasi chekli bo‘lgan holda, masalan, tanlash aksiomasini tushunish qiyin emas. Tanlash aksiomasi cheksiz to‘plamlar uchun qo‘llansa, ba’zan, tortishuvlarga sabab bo‘luvchi juda qiziq tasdiqlar vujudga keladi. Bu fikmi tasdiqlash maqsadida Banax'-Tarskiy2 paradoksi (shaming ikkilanishi) va Xausdorf3 paradoksi mavjud- ligini ta’kidlaymiz. Yuqorida keltirilgan aksiomalardan, jumladan, hajmiylik aksiomasidan, to‘plamlar bo‘yicha ko‘plab tasdiqlami isbotlashda foydalanamiz. Hajmiylik aksiomasini boshqacha ifodalash ham mumkin. A to‘plamning har bir elementi В to'plamda ham mavjud va, aksincha, В to‘plamning har bir elementi A to‘plamda ham