Mustaqil ish mavzu : to’plam nazariyasi aksiomalari

1 Вапах (Banach Stefan, Банах Стефан, 1892—1945) — Polsha va Ukraina matematigi. 2 Tarskiy (Tarski Alfred, 1902—1983) — Polsha va AQSH mantiqchisi, matematigi. 3 Xausdorf (Felix Hausdorff, 1868—1942) — olmon matematigi.

mavjud bo‘lsa, u holda A va В to‘plamlar tengdir. A va В to ‘plamlarning tengligini A=B yoki B=A ko‘rinishda ifodalaymiz. Aslida, A=B bo‘lsa, u holda A va. В to‘plamlar aynan bitta to‘plamning har xil belgilanishidir. Masalan, o‘nlik sanoq tizimidagi yozuvining oxirgi raqami 1, 3, 5, 7 yoki 9 raqamlaridan bin bo‘lgan natural sonlar to‘plamini A bilan, birni qo‘shganda ikkiga qoldiqsiz bo‘linadigan natural sonlar to‘plamini esa В bilan belgilasak, u holda у1=# bo‘ladi. /l=fiyozuv to‘plamlardagi elementlaming qaysi tartibda joylashishiga bog‘liq emas. Albatta, to‘plamdagi elementlami qaysi tartibda qo‘yish masalasi ham dolzarbdir. A va В to‘plamlar teng bo‘lmasa, u holda bu holat АфВ yoki BtA ko‘rinishda ifodalanadi.

To‘plamlar nazariyasida quvvatat eng muhim tushunchalardan biri bo‘lib, u to‘plamlami taqqoslashda katta ahamiyatga egadir. To‘plamning quvvati tushunchasi, uning chekli yoki cheksiz bo‘lishiga qarab ta’riflanadi. Quwat tushunchasi to‘g‘risida batafsil ma’lumotni to‘plamlar nazariyasiga bag‘ishlangan manbalardan topish mumkin (masalan, [30—33]). Kombinatorika va graflar nazariyasida, asosan, chekli to‘plamlar bilan ish ko‘riladi. Shu sababli, to‘plamning quvvati tushunchasini faqat chekli to‘plamlar uchun keltirish bilan chegaralanamiz. Chekli to‘plamning elementlari soniga shu to ‘plamning quvvati deyiladi. Berilgan A to‘plamning quvvati \A\ ko‘rinishda belgilanadi. 1-misol. Ushbu to‘plamlar berilgan bo‘lsin: A = {a}, B — {a,b}, C= {a,b,c,d,e}, D= {1,2,3,..., n}, E= {m\m=2z}, F={2,3,5,7, ..., p,...}, bu yerda, n — natural son, z— butun son, p — tub son. Berilgan oltita to‘plamdan to‘rttasi — А, В, С va D to‘plamlar chekli, Eva F to‘plamlar esa cheksiz to‘plamlardir. Bundan tashqari, \A\=l, \B\=2, |С |=5 va \D\=n. ■ Berilgan A to‘plamga a element tegishliligi aeA yoki Аэа ko‘rinishda belgilanadi va «a tegishli А» deb o‘qiladi. «Tegishli» iborasining o‘miga, ba’zan, «qarashli» yoki «taalluqli» iborasi ham qo‘llaniladi. Qandaydir b ning A to‘plamga tegishli emasligi, ya’ni b ning A to‘plam elementi bo‘lmasligi be A, b<£ A yoki А э b, ko‘rinishda yoziladi. Masalan, A={2, 4, 6, 8, 10} to‘plam uchun 4eA, 6eA va lOe/1 (bulami umumlashtirib, 4, 6, IOg/1 ko‘rinishda yozish ham mumkin), lekin 12g A va l4gA (ya’ni 12, 14eA ). Tabiiyki, turli to‘plamlar uchun umumiy elementlar mavjud bo‘lishi mumkin. Masalan, A = {2, 4, 6, 8, 10} va B= {1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8} to‘plamlarda 2, 4, 6, 8 elementlar har ikki to‘plamda ham mavjuddir. Agar В to‘plamning har bir elementi A to‘plamda ham bor bo‘lsa, u holda to‘plam A to‘plamning qism to ‘plami, deb aytiladi. В to‘plam A to‘plamning qism to‘plami ekanligi B e A yoki A ^ B ko‘rinishda belgilanadi. Tabiiyki, bu belgilashlar A va В to‘plamlaming teng bo‘lgan holini ham nazarda tutadi. ^ c fiv a B e A bo‘lishidan A—В kelib chiqadi. Bu tenglik to‘plamning o‘zi o‘zining qism to‘plami bo‘la olishi mumkinligini ko‘rsatadi, ya’ni A c A (yoki А з A) ko‘rinishdagi yozuv ham ma’noga egadir. Har qanday to'plamning o‘zi o‘zining qism to‘plami bo‘la olishi to‘plamlaming refleksivlik xossasi, deb ataladi. В to‘plamning hamma elementlari A to‘plamda bor bo‘lib, shu bilan birga, A to‘plamda В ga kirmagan element(lar) ham topilsa, u holda В to‘plam A to'plamning xos qism to ‘plami deyiladi. В to‘plam A to‘plamning xos qism to‘plami bo‘lishi Be A yoki A oB ko‘rinishda belgilanadi. Ta’kidlash kerakki, A c A yoki A zdA deb yozish mumkin emas (qiyoslang: a haqiqiy son bo‘Isa, u holda a < a yoki a > a yozuv noto‘g‘ri). .Shuning uchun,„bu holatni ifodalash maqsadida, har qanday to‘plam «o‘zi o‘zining xosmas qismi» degan iboradan foydalaniladi. To‘plamlar nazariyasida bo‘sh to‘plam har qanday bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamning qism to‘plami, deb qaraladi, ya’ni 0 с A. Tabiiyki, bo‘sh to‘plamning quwati nolga teng, ammo bo‘sh to‘plamning yagona element sifatida saqlovchi to‘plamning quwati birga tengdir, ya’ni |0|=O, lekin |{0}|=1. Qandaydir a tasdiqning o‘rinli bo‘lishidan boshqa b tasdiqning o‘rinli bo‘lishi kelib chiqsa, bu holat a=>Z>, deb belgilanadi. Masalan, (A c В va BcA)=> A=B. Agar a va b tasdiqlar uchun a=>6 va b=>a bo‘lsa, bu tasdiqlar о ‘zaro ekvivalent tasdiqlar, deb ataladi. a va b tasdiqlarning o‘zaro ekvivalentligi a<=>b deb belgilanadi (masalan, [14] kitobning mulohazalar algebrasi qismiga qarang). 2-misol. N natural sonlar to‘plami R haqiqiy sonlar to‘pla- mining qism to‘plamini tashkil etadi: N c R ■ 3-misol. Nukus shahridagi barcha talabalar to ‘plami 0 ‘zbekistondagi barcha talabalar to‘plamining qism to‘plamidir. ■ 4-misol. 0 ‘nli sanoq tizimidagi yozuvining oxirgi raqami 0, 2, 4, 6 yoki 8 raqamlaridan biri bo‘lgan natural sonlar to‘plami

ikkiga qoldiqsiz bo‘linadigan natural sonlar to‘plamining qism to‘plamidir. ■ 5-misol. A = {a, b, c, d, e\ to‘plam uchun В = {a}, С = {a, b} to'plamlaming har biri xos qism to‘plamdir. ■

Hulosa qilib aytadigan bo’lsam to’plam juda kata tushunchaga ega bo’lgan matematika bo’lagi.U bilan turli matematik hisoblashlarda foydalansa bo’ladi.Shuningdek qiyin matematik funksiya yoki masalalarni aynan to’plam orqali soddagina yechishimiz mumkin.Bu bizga anchagina qulayliklar tag’dim etadi.Bildikki aynan bir xil maqsadga qaratilgan va bir funksiyaga ega elelmentla aynan to’plam tashkil etadi.Demak to’plam aksiomalari esa qanday qonuniyat bilan hisoblash mumkinligini ko’rasatib beradi.Aksioma o’zi isbot talab qilinmaydi.Shu sababli ham uni turli o’rinlarda bemalol ishlatib ketishimiz mumkin.

To’plardan ham turmush tarzimizda keng foydalanamiz.Masalan oddiygina olganda TATU ni bitta universal toplam deb qaraydigan bo’lsak uning ichida ham bir qancha qism to’plar mavjud.Bular usha har bir fakultetlar yoki yana usha qism to’plariga kiruvchi elementlarni belgilashimiz mumkin.Bular talabalarni tashkil etadi.Yoki boshqacha yondashishimiz ham mumkin.Shunday qilib to’plam aksiomalari bizga bir qancha qulayliklarni keltirib berdi.