Mustaqil ish 1 Funkiya tushunchasi

MUSTAQIL ISH – 3.
5.Teylor va Makleron qatorlari.
y=f(x) funksiya a nuqtada va uning biror atrofida uzluksiz va a nuqtada istalgan tartibli hosilalarga ega bo’lsin.
Ushbu masalani qo’yamiz: y=f(x) funksiyani darajali qator ko’rinishida tasvirlash mumkin va hamma vaqt hosil bo’lgan darajali qator berilgan y=f(x) funksiyani darajali qator ko’rinishida tasvirlash mumkin, ya’ni
+
(1)
endi y=f(x) funksiyaning darajali qator koeffitsiyenlari bilan bog’langanligini topamiz.
(1)-da x=a deb f(a)= ekanligini topamiz. Faraz qilaylik y=f(x) funksiya qator yaqinlashish intervaliga tegishli a nuqtaning biror atrofida uzluksiz bo’lsin. U holda qatorni bu atrofda hadma-had differensiallash mumkin. (1)- tenglikni differensiallaymiz:

(2)
(2)- tenglikda x=a deb ni hosil qilamiz. (2)-tenglikni differensiallab


(3)
ga kelamiz va (3)-tenglik x=a desak


(4)
(4) da x=a desak
va hakazo.
(5)
(5) Teyler koeffitsiyentlari (1) ga qo’yamiz.

(6)
Agar y=f(x) funkisya x=a nuqtada istalgan tartibli hosilasiga ega bo’lsa, u holda Teylor formulasida n sonini istalgancha katta qilib olish mumkin. Qaralayotgan atrofda

deb faraz qilsak. U holda (6)-formulada da limitga o’tib, o’ngda cheksiz qatorga ega bo’lamiz,

(7)
(7) formula y=f(x) funksiya uchun a nuqtaning atrofdaagi Teylor qatori deyiladi.

bu yerda

Teorema. (Teylor teoremasi)
Y=f(x) funksiyani (x-a) ning darajasi bo’yicha darajali qatorga yoyish uchun y=f(x) funksiya a nuqtada aniqlangan va bu nuqtaning atrofida absolyut qiymati bo’yicha aynan bir sonning o’zi bilan o’zi bilan chegaralangan yuqori tartibli hosilalarga ega bo’lsa, u holda bu funksiya ko’rsatilgan x=a nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyish mumkin.
(7)-qatorning aniqlanish sohasidagi uchun qatorning yig’indisi y=f(x) funksiyaning bu nuqtadagi qiymatiga teng va bu yoyilma yagonadir.
Teylor qatorining xususiy holi Makleron qatori deyiladi. Agar (7)-yoyilmada a=0 bo’lsa, Makleron qatori deb ataluvchi qatorga ega bo’lamiz.

(8)

f(x)=sinx funksiyasini Makleron qatoriga yoyish.

Sinx funksiyani x ning darajalari bo’yicha yoyish.
f(0)=sin0=0
f’(x)=cosx=sin , f’(x)=1
f’’(x)=-sinx=sin , f’’(0)=0
f’’’(x)=-cosx=sin , f’’’(0)=-1