Mustaqil ish 1 Funkiya tushunchasi

Funksiya limitining asosiy xossalari:
1) yig’indining limiti. CHekli sondagi funksiyalar algebraik yig’indisining limiti, qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya’ni va funksiyalarning dagi limitlari mavjud bo’lsa,
(5)
2) chekli sondagi funksiyalar ko’paytmasining limiti funksiyalar limitlarining ko’paytmasiga teng, ya’ni
(6)
Natija: O’zgarmas ko’paytuvchini limit belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni,
(7)
3) Ikkita funksiya nisbatining limiti, maxrajning limiti nњldan farqli bo’lsa, bu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni bo’lsa,
(8)
bo’ladi.
Limitlarni hisoblashda quyidagi limitlardan foydalaniladi:
; (9)
(10)
Bu limitlarga mos ravishda birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar deyiladi.
5. Funksiyaning uzilishi va uzluksizligi. Uzilish turlari.
Ta’rif. Agar x₀ nuqtaning biror atrofida (x₀ nuqtaning o’zida ham) y=f(x) funksiya aniqlangan bo'lsa va agar


(1)

bo‘lsa, x=x₀ qiymatda (yoki x₀ nuqtada) funksiya uzluksiz deyiladi. (1)ifodaning uzluksizlik shartini bunday yozish mumkin:

yoki .


x₀ nuqtada uzluksiz f(x) va g(x) funksiyalar bo‘lsa, u holda x₀ nuqtada quyidagi funksiyalar ham uzluksiz bo‘ladi:

1. 
   f(x)+g(x)
   
2. 
   k f(x) (k-o‘zgarmas)
   
3. 
   
   
4. 
   (g(x₀) 0)
   

Agar f(x) funksiya kesmada uzluksiz bo‘lsa va kesmaning chetki nuqtalarida turli ishorali qiymatlarga erishsa ( ), u holda (a; b) internalga tegishli kamida bitta c nuqta topiladiki, f(c)=0 tenglik bajariladi.

Agar f(x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz bo‘lmasa, funksiya x₀ nuqtada urilishga ega yoki x₀ nuqta uning uzilish nuqtasi deyiladi.
y=f(x) funksiyaning x₀ nuqtada chapdan va o‘ngdan limitlari mavjud bo‘lib, o‘zaro teng bo‘lmasa, ya’ni
,
u holda x₀ nuqta funksiyaning birinchi tur urilish nuqtasi deyiladi.
Agar x₀ nuqtada funksiyaning chapdan va o‘ngdan limitlari f(x₀-0) va f(x₀+0) lar o‘zaro teng bo‘lib, funksiyaning x₀ nuqtada erishadigan qiymati f(x₀) dan farq qilsa, unda x₀ nuqta bartaraf etilishi mumkin uzilish nuqtasi deb ataladi.
y=f(x) funksiyaning x₀ nuqtada chapdan yoki o‘ngdan limitlarining biri mavjud bo‘lmasa (xususan, cheksiz bo‘lsa), u holda x₀ nuqta funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.
1. Quyidagi funksiyalarning ko‘rsatilgan nuqtalarida bir tomonli limitlarini toping:
a) f(x)= x=1 nuqtada


b) x=1 x=2 nuqtalarda
c) ning kasr qismi; x=1, x=2, x=3 nuqtalarda
d) nuqtada
Quyidagi funksiyalarning uzilish nuqtalari va ularning turlarini aniqlang.

1.

f(x) funksiya va intervallarda aniqlangan va uzluksiz bo‘lgan elementar funksiyalar bilan berilgan. Demak, faqat nuqtalarda uzulishga ega bo‘lishi mumkin.

nuqta uchun chap va o‘ng limitlarni hisoblaymiz:

Bu esa nuqtada f(x) fuksiya birinchi tur uzilishga ega bo‘lishini bildiradi. nuqta uchun:

bo‘ladi.
nuqtada funksiya 1-tur uzilishga ega bo‘ladi.