Musbat hadli qatorlar Qator yig’indisi

7. Ishoralari navbatlashuvchi qatorlar.
1-ta’rif. Ushbu
(1)
bu yerda musbat sonlar, qator ishoralari navbatlashuvchi qator deyiladi.
Ishoralari navbatlashuvchi qatorlar uchun quyidagi teorema o‘rinli:
1-teorema (Leybnis teoremasi). Agar ishoralari navbatlashuvchi

qatorda
1) qator hadlarining absolyut qiymatlari kamayuvchi, ya’ni
(2)
bo‘lsa,
2) qatorning umumiy hadi da nolga intilsa:
(3)
u holda (1) qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Isboti. , ya’ni juft bo‘lsin. U holda S_2m ni quyidagicha yozib olamiz: . (2) shartga ko‘ra u_2m-1-u_2m>0 (m=1,2,…), demak va xususiy yig‘indilar ketma-ketligi { } o‘suvchi bo‘ladi.
Endi xususiy yig‘indini quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
.
Yana (2) shartga ko‘ra tengsizlikni hosil qilamiz.
Shunday qilib, { } xususiy yig‘indilar ketma-ketligi o‘suvchi va yuqoridan chegaralangan. Demak, , shu bilan birgalikda
Endi toq indeksli { } xususiy yig‘indilar ketma-ketligi ham S limitga intilishini ko‘rsatamiz.
Haqiqatan ham,
= +
bo‘lgani uchun da
= + = =
ga ega bo‘lamiz, bunda (3) shartga ko‘ra

Demak, , qator yaqinlashuvchi.
1-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. va .
Demak, yuqoridagi teoremaga asosan qator yaqinlashuvchi.

Endi ixtiyoriy hadli qatorlarni qaraylik.

2-teorema. Agar ixtiyoriy hadli
(4)
qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan
(5)
qator yaqinlashsa, u holda berilgan qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Isboti