Muntazam ko’pburchak yasash imkoniyati haqida ikkinchi teorema va uning tadbiqi Koʻpyoqlik

Ekvivalent xususiyatlar
Har bir tepa atrofida yuzlarning o'xshash tartibiga ega bo'lish xususiyati ta'rifda quyidagi teng sharoitlardan biri bilan almashtirilishi mumkin:

• 
  Ko'p qirrali tepaliklarning barchasi a ga yotadi soha.
  
• 
  Hammasi dihedral burchaklar ko'pburchak tengdir
  
• 
  Hammasi tepalik raqamlari ko'p qirrali muntazam ko'pburchaklar.
  
• 
  Hammasi qattiq burchaklar ko'p qirrali mos keladi.
  

Konsentrik sferalar

Muntazam ko'pburchakda uchta markazga tegishli boshqa barcha sohalar mavjud (boshqa ko'pburchaklarda hech bo'lmaganda bitta tur mavjud):

• 
  An tekshirmoq, barcha yuzlarga tegishlidir.
  
• 
  Interfera yoki o'rta sfera, barcha qirralarga tegib turadi.
  
• 
  A atrofi, barcha tepaliklarga tegishlidir.
  

• 
  Simmetriya
  

Oddiy polyhedra eng ko'p nosimmetrik barcha polyhedra. Ular faqat uchta simmetriya guruhlariPlatonik qattiq moddalar nomi bilan atalgan:

• 
  Tetraedral
  
• 
  Oktahedral (yoki kubik)
  
• 
  Ikozahedral (yoki dodekaedral)
  

Ikosahedral yoki oktahedral simmetriyaga ega bo'lgan har qanday shaklda tetraedral simmetriya ham bo'ladi.
Eyler xarakteristikasiPlatonik beshta qattiq moddada an bor Eyler xarakteristikasi 2. Bu shunchaki sirtning topologik 2-shar ekanligini va shu bilan bir qatorda, masalan, ba'zi ichki nuqtalarga nisbatan yulduzcha shaklidagi har qanday poliedronni aks ettiradi.

Ichki nuqtalar

Oddiy ko'pburchakning ichki qismidagi istalgan nuqtadan yon tomonlarga masofalar yig'indisi nuqta joylashgan joyidan mustaqil (bu kengaytma Viviani teoremasi.) Biroq, aksincha, hatto uchun ham bo'lmaydi tetraedra

Muntazam ko'pburchakning ikkilikliligi

A ikkilamchi juft polyhedra, bitta ko'p qirrali tepaliklar boshqasining yuzlariga to'g'ri keladi va aksincha.
Muntazam polyhedra bu ikkilikni quyidagicha namoyish etadi:

• 
  The tetraedr o'z-o'ziga xosdir, ya'ni o'zi bilan juftlashadi.
  
• 
  The kub va oktaedr bir-biriga ikkilangan.
  
• 
  The ikosaedr va dodekaedr bir-biriga ikkilangan.
  
• 
  The kichik yulduzli dodekaedr va ajoyib dodekaedr bir-biriga ikkilangan.
  
• 
  The katta yulduzli dodekaedr va ajoyib ikosaedr bir-biriga ikkilangan.
  

Ikkilikning Schläfli belgisi faqat orqaga yozilgan asl nusxadir, masalan, {5, 3} duali {3, 5}.