Mundarija Kirish I bob. Topologik fazolarning xossalari

1.2.1-izoh. Bu to‘plamda ko‘p hollarda metrika ko‘rinishda ham aniqlanadi.
1.2.3-misol. ─ fazo. to‘plam sifatida ko‘rinishdagi haqiqiy sonlardan tashkil topgan, shartni qanoatlantiruvchi barcha sonli ketma-ketliklar to‘plamini olaylik. Bu yerda shartni qanoatlantiruvchi tayin son. Bu to‘plamda ikki va elementlar orasidagi masofa (metrika)ni ko‘rinishda aniqlaymiz, bu yerda . Tekshirib, ishonch hosil qilish mumkinki, bu metrik fazo bo‘ladi. Bu fazo ko‘rinishda belgilanadi. Agar bo‘lsa, fazo ko‘p hollarda Gilbert fazosi deb yuritiladi.
1.2.4-misol. Diskret metrik fazo. Faraz qilaylik, bo‘sh bo‘lmagan ixtiyoriy to‘plam bo‘lsin. to‘plamda ikki element: va orasidagi metrika (masofa)ni quyidagicha aniqlaymiz:

Bu metrika tashkil qiladi va diskret metrika deyiladi. fazo diskret metrik fazo deb yuritiladi.
Shuni aytish kerakki, bu ko‘rinishda fazoni metrikalashtirish doim ham mazmunli bo‘lavermaydi. Shu sababli doimo fazoni diskret bo‘lmagan metrika bilan ta’minlash mazmunliroq bo‘ladi va ko‘p o‘rganiladi.
1.2.2-izoh. Agar to‘plam metrik fazoning ixtiyoriy bo‘sh bo‘lmagan to‘plamostisi bo‘lsa, to‘plamning ixtiyoriy va elementlari uchun bu ikki element orasidagi masofani (metrikani) deb olsak, u holda to‘plamostida metrika bo‘ladi. Bu metrika indutsirlangan metrika deb yuritiladi. metrik fazo esa, metrik fazoning fazoostisi deb yuritiladi. Agar va to‘plamlar ning bo‘sh bo‘lmagan to‘plamostilari bo‘lsa, bu va to‘plamlar orasidagi masofa sifatida son qabul qilingandir. Xususiy holda soni nuqtadan to‘plamgacha bo‘lgan masofa deb ataladi. Xullas, to‘plamning diametri deb songa aytiladi. Bu yerda .
Nihoyat, agar o‘rinli bo‘lsa, to‘plam chegaralangan to‘plam deyiladi. Metrik fazolarga doir misollar ba’zi hollarda matematik analizga doir masalalarni hal qilishda yuzaga chiqmoqda.
1.2.5-misol. kesmada uzluksiz bo‘lgan barcha funksiyalar to‘plamini olaylik. Bu to‘plam ko‘rinishda belgilanadi. Agar funksiyalar ning ixtiyoriy uzluksiz funksiyalari bo‘lsa, ular orasidagi masofani shaklda aniqlaymiz. Matematik analiz kurslaridan ham ma’lumki, bu funksiya da metrika tashkil qiladi. uzluksiz funksiyalar fazosi deb ataladi.
Bizga bo’sh bo’lmagan to’plam berilgan bo’lsin.