Mundarija. Kirish. I-bob. Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni grin funksiyasi orqali yechish

2§.Dirixle masalasining shar uchun yechilishi

Dirixle masalasining shar uchun yechilishi .

Agar D soha shardan iborat bo’lsa , Grin funksiyasining aniq ifodasini topish mimkin . Bu holda (31) formula bilan aniqlangan garmonik funksiyasining chegaraviy shartni qanoatlantirishini ko’rsatish ham qiyin emas .

Shunday qilib , D soha markazi koordinata boshida va radiusi R ga teng bo’lgan shar bo’lsin Uni chegaralab turgan sferani S_R orqali belgilab olamiz . x va ξ bu sharning ichki nuqtalari bo’lsin .

Faraz qilaylik , x≠0 bo’lib , x ga S_R sferaga nisbatan simmetrik nuqta y bo’lsin , ya’ni

(32)

bo’lganligi sababli , y nuqta S_R sferadan tashqarida yotadi .Ushbu

funksiya y nuqtadan tashqari barcha ξ nuqtalarda garmonik , xususiy holda D sohada ham garmonik bo’ladi . Tekshirib ko’rish qiyin emaski , ξ€ S_R bo’lganda bu funksiya qiymatni qabul qiladi . Haqiqatan ham, agar ξ€ S_R bo’lsa , Oxξ va Oξy uchburchaklar (a-rasim ) o’xshash bo’ladi, chunki ular umumiy O burchakka ega va bu burchakni hosil qilgan tomonlari (32^/) tenglikka asosan proporsionaldir .

Demak ,

Shunday qilib , ushbu

(33)

a-rasm

f unksiya soha shardan iborat bo’lgan holda Grin fun ksiyaning barcha shartlarini qanoatlantiradi . Bu funksiyadan foydalanib , (31) formulaga asosan ,sharda garmonik va S_R sferada oldindan berilgan uzluksiz φ (x) funksiyaga teng bo’ladigan funksiyani hosil qilamiz . Agar θ orqali va vektorlar orasidagi burchakni belgilab olsak ,u holda

x va y nuqtalar simmetrik bo’lgani uchun .

Bunga asosan avvalgi tenglikni bunday yozib olamiz :




Shar uchun tashqi normal va radiusining yo’nalishlari ustma-ust tushgani uchun

.

Bu hosilani hisoblash uchun oldingi tenglikni e’tiborga olib , G(x,ξ) ni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz :

Bunga asosan ,

Shunday qilib ,D soha markazi koordinata boshida va radiusi R gat eng shar bo’lgan holda (31) formula ushbu ko’rinishga ega bo’ladi .

(34)

Yoki
(34’)

n=2 bo’lgan holda (33) dan foydalanib ,yana (34) yoki (34’) formulani hosil qilamiz (34) yoki (34’) formula Puasson formulasi deyiladi , uning yadrosi deb ataladi Agar

funksiya S_R sferada uzluksiz bo’lsa , Puasson formulasi bilan aniqlangan u(x) funiksiya S_R sfera bilan chegaralangan sharda garmonik bo’lib ,

(35)

Shartni qanoatlantiradi.

u(x) funksiyaning garmonik bo’lishini (31) formulani hosil qilganda aytib o’tgan edik . Endi (35) shartning bajarilishini ko’rsatamiz .Grin funksiyasining 2) xossasiga asosan yoki to’g’ridan -to’g’ri (34) formuladan
(36)
x nuqta S_R sferaning ichidan bu sferada yotuvchi x₀ nuqtaga intilayotgan bo’lsin . (36) formulani φ(x₀) ga ko’paytirib , so’ngra uni (34) dan ayiramiz :

(37)

funksiya S_R sferada , demak , x₀ nuqtada uzluksizligidan ixtiyoriy ε>0 uchun S_R da x₀ nuqtaning shunday atrofi mavjud bo’ladiki ,unga tegishli barcha ξ nuqtalar uchun

Tengsizlik o’rinli bo’ladi . u(x)-φ(x₀) ayirmani baholaymiz .Shu maqsadda (37) integralni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz :

Bundan

J₁ integral uchun x nuqtaning holatiga (ya’ni sharning qaysi qismida yotishiga ) bog’liq bo’lmagan bahoni hosil qildik . J₂ integralni x va x₀ nuqtalarni bir –biriga yaqin olish natijasida yetarli kichik qilib olish mumkin . φ(x) funiksiya yopiq to’plamda uzluksiz bo’lgani uchun u chegaralangan bo’ladi , ya’ni

Bunga asosan

x nuqtani x₀ ga yetarli qilib olsak , ya’ni da bo’lgani uchun bo’ladi .Shu sababli , qilib olish mumkin . Demak ,

Endi u(x) funiksiya sharda garmonik , sharning chegaralarida uzluksiz bo’lib ,

shartni qanoatlantirsin . U holda funiksiya sharda garmonik , da uzluksiz bo’lib ,

shartni qanoatlantiradi .(34) formulaga asosan

Bundan darhol, = , desak , | x-x₀|

(38)
(38) formuladan x=x₀ bo’lganda , yana (16) o’rta arifmetik formula kelib chiqadi.

(16)