Mundarija: Kirish I bob. Boshlang’ich funksiya va aniqmas integral tushunchasi

1.1 Boshlang’ich funksiya va aniqmas integral.
Ma’lumki, harakatdagi nuqtaning tezligini topish, shuningdek, egri chiziqqa urinma o’tkazish kabi masalalar funksiyani differensiallash tushunchasiga olib kelgan edi.
Nuqtaning har bir vaqt momentidagi tezligi ma’lum bo’lganda uning harakat qonunini topish, egri chiziqni uning har bir nuqtasidagi urinmalariga ko’ra aniqlash kabi masalalar ham ko’p uchraydi. Bunday masalalar yuqorida eslati bo’tilgan masalalarga teskari masalalar bo’lib, ular funksiyani integrallash tushunchasiga olib keladi.
Boshlang`ich funksiya. Bizga funksiya berilgan bo`lsin. Bu funksiyaning hosilasini topish amaliga funksiyani differensiallash deyiladi. Masalan, harakatning berilgan bo`lsa, buni t bo`yicha differensiallash bilan tezlikni topamiz. Yana bu tezlikni t bo`yicha differensiallasak tezlanishni topamiz. Biroq, amalda teskari masalani ham echishga to`gri keladi: ya`ni tezlanish t vaqtning funksiyasi sifatida berilgan bo`lib, t vaqtda o`tilgan s yo`lni va v tezlikni aniqlash so`raladi.
Shunday qilib, bu erda hosilasi bo`lgan funksiyani topib, so`ngra hosilasi v bo`lgan s=s(t) funksiyani topish kerak.
Ko`p masalalarda noma`lum funksiyaning berilgan hosilasi bo`yicha o`zini topishga to`gri keladi.
Agar f(x) funksiya berilgan bo`lsa, shunday F(x) funksiyani topish kerakki, uning hosilasi berilgan funksiyaga teng bo`lsin, ya`ni

Ta`rif. Agar kesmaning har bir nuqtasida tenglik o`rinli bo`lsa, u holda F(x) funksiya berilgan f(x) funksiyaning boshlang`ich funksiyasi deyiladi.
Agar f(x) funksiya F(x) boshlang`ich funksiyaga ega bo`lsa, bunda f(x) ning boshqa xar qanday boshlang`ich funksiyasi F(x) dan o`zgarmasga farq qiladi.
Masalan, F(x) berilgan f(x) funksiyaning boshlang`ich funksiyasi bo`lsin. F(x) f(x) ning boshqa boshlang`ich funksiyasi bo`lsin; bunda bu yerda C-o`zgarmas miqdor. Bundan quyidagi xulosa kelib chiqadi: agar F(x) f(x) ning boshlang`ich funksiyasi bo`lsa, u holda ham f(x) ni boshlang`ich funksiyasi bo`lib, u f(x) ning barcha boshlang`ich funksiyalar to`plamini tashkil etadi. Bundan kelib chiqadiki f(x) funksiyaning boshlang`ich funksiyalari cheksiz ko`p bo`lar ekan.
Endi aniqmas integral ta`rifini keltiramiz.
Ta`rif. Agar F(x) funksiya f(x) funksiyaning boshlang`ich funksiyasi bo`lsa, u holda ifoda ham boshlang`ich funksiya bo`lib, f(x) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi va ko`rinishda belgilanadi. [2]
Bunda f(x)-integral ostidagi funksiya, belgi integral belgisi deyiladi. Shunday qilib,aniqmas integral funksiyalar to`plamidan iborat bo`ladi.
Aniqmas integralning geometrik ma`nosi, tekislikdagi chiziq (to`gri yoki egri chiziq)lar oilasidan iborat bo`lib, bular bir chiziqning o`ziga parallel holda OY o`qi bo`ylab, pastga yoki yuqoriga siljitishdan iborat bo`ladi. (argumentni manfiy yoki musbat qiymatlarniqabul qilishiga qarab).
Har qanday uzluksiz funksiyani boshlang`ich funksiyasi mavjud bo`ladi. Demak bunday funksiyani aniqmas integrali mavjuddir. [1]
Funksiyani integrallash deyilganda uning boshlang`ich funksiyasini topish tushuniladi. Shu sababli biror funksiyani integrallaganda topilgan boshlang`ich funksiyasidan hosila olib, integrallash natijasi tekshiriladi.
Differensial hisobning asosiy masalalaridan biri berilgan _{ } funksiyaga ko‘ra uning hosilasi _{ } ni topishdan iborat edi. Bu masalaning teskarisi, ya’ni hosilasiga ko‘ra funksiyaning o‘zini tiklash masalasi katta ahamiyatga ega bo‘lib, integral hisobning asosiy masalalaridan hisoblanadi.
_{ }funksiya biror _{ } (chekli yoki cheksiz) intervalda aniqlangan bo‘lsin.