Mundarija: Kirish I bob. Boshlang’ich funksiya va aniqmas integral tushunchasi

2-ta’rif._{ } intervalda berilgan _{ }funksiya boshlang‘ich funksiyalarning umumiy ifodasi _{ } bu yerda _{ } shu _{ }funksiyaning aniqmasintegrali deb ataladi va u _{ } kabi belgilanadi. Bunda _{ } – integral belgisi, _{ } – integral ostidagi funksiya, _{ }- integral ostidagi ifoda, _{ }– integrallash o‘zgaruvchisi deb ataladi.
Demak, ta’rifga ko‘ra

bu yerda _{ }funksiya _{ }ning biror boshlang‘ich funksiyasi.
Masalan, [3] _{ } da _{ }bo‘lsin. Bu holda _{ }bo‘lgani uchun _{ }bo‘ladi.
_{ } formuladan ko‘rinadiki, berilgan _{ }funksiyaning biror boshlang‘ich funksiyasini va uning aniqmas integralini topish masalalari deyarli bir xil masalalardir. Shu sababli _{ }funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini topishni ham, aniqmas integralini topishni ham _{ }funksiyani integrallash deb ataymiz. Integrallash differensiallashga nisbatan teskari amaldir.
Integrallash amalining to‘g‘ri bajarilganligini tekshirish uchun olingan natijani differensiallash yetarli: differensiallash natijasida integral ostidagi funksiya hosil bo‘lishi lozim.
Masalan, [5] _{ }ekanligini tekshirish uchuntenglikning o‘ng tomonidagifunksiyadan hosila olamiz: _{ }demak, integrallashto‘g‘ri bajarilgan.
Geometrik nuqtai nazardan bu teorema _{ }funksiyaning aniqmas integrali _{ }bir parametrli egri chiziqlar oilasini ifodalaydi_{ }. Bu egri chiziqlar oilasi quyidagi xossaga ega: egri chiziqlarga abssissasi _{ }bo‘lgan nuqtasida o‘tkazilgan urinmalar bir-biriga parallel bo‘ladi.
_{ }egri chiziqlar oilasi integral egri chiziqlar deb ataladi. Ular bir-birlari bilan kesishmaydi, biri-biriga urinmaydi. Tekislikning har bir nuqtasidan faqat bitta integral chiziq o‘tadi. Barcha integral chiziqlar biri ikkinchisidan _{ }o‘qiga parallel ko‘chirish natijasida hosil bo‘ladi.
Misol. Abssissasi _{ }bo‘lgan nuqtasida o‘tkazilgan, urinmasining burchak koeffitsienti _{ }formula bilan ifodalanadigan va _{ } nuqtadan o‘tuvchi egri chiziqni toping.
Yechish. Ma’lumki _{ } bu shartni qanoatlantiruvchi y funksiyaning umumiy ifodasi _{ }bo‘ladi. Bu integralni hisoblab _{ } ifodaga ega bo‘lamiz. Izlanayotgan egri chiziq _{ } nuqtadan o‘tadi. Shu sababli funksiya ifodasiga berilgan nuqta koordinatalarini qo‘yamiz va _{ }ning kerakli qiymatini topamiz. Natijada_{ }hosil bo‘ladi. Demak, izlanayotgan egri chiziqtenglamasi_{ }ekan.
Endi quyidagi savolga javob izlaymiz: biror oraliqda berilgan har qanday _{ }funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi mavjudmi?
Ushbu savolning javobi Darbu teoremasidan kelib chiqadi.
Bu teoremaga asosan quyidagi

funksiya _{ } da boshlang‘ich funksiyaga ega emas, chunki bu funksiya 0 va 1 qiymatlarni qabul qilib, ular orasidagi qiymatlarini qabul qilmaydi.
Har qanday funksiyaning ham boshlang‘ich funksiyasi mavjud bo‘lavermaydi, lekin quyidagi teorema o‘rinli.