Mundarija: I. Kirish II. Asosiy qism

II. Asosiy qism
2.1. Aniqmas Lеbеg intеgrali
Faraz qilaylik, segmentda jaml anuvchi funksiya berilgan bo`lsin. Lebeg integralining xossasiga asosan bu funksiya segmentning har qanday o`lchovli qism to`plamlarida ham jamlanuvchi bo`ladi. Xususan, funksiyani olib, oraliqning harqismida ushbu

Lebeg integralini qarasak, uning qiymati ga bog`liq bo`ladi. Bu integral Lebegning aniqmas integrali deyiladi. Biz uni orqali belgilaymiz. Lebegning aniqmas integrali juda muhum funksiyalar sinfini tekshirishga olib keladi.
Matematik analiz umumiy kursidan ma`lumki, segmentda aniqlangan uzluksiz funksiya va uning Riman ma`nosidagi aniqmas integrali

uchun segmentning har bir nuqtasida
(1)
Munosabat hamda segmentning har bir nuqtasida uzluksiz hosilaga ega bo`lgan funksiya uchun ushbu
(2)
Nyuton-Lebnis formulasi o`rinlidir.
Shunga o`xshash ibora Lebeg integrali uchun ham o`rinlimi, yani funksiya segmentda jamlanuvchi bo`lsa, (1)va (2) tengliklar saqlanadimi? Quyida shu savolga javob beramiz.
Dastlab quyidagi teoremani isbotLaymiz.
1-teorema. Agar jamlanuvchi funksiya bo`lsa, u houda uning Lebeg ma`nosidagi aniqmas integrali

o`zgarishi chegabalangan funksiya bo`ladi.
Isbot. funksiyaning segmentda jamlanuvchiligidan shu oraliqda funksiyaning mavjtdligi kelib chiqadi. Agar segmentda bo`lsa,
monoton funksiya bo`lib( uning o`zgarishi chegaralangandir. Umumiy hol esa funksiyani ikki manfiy bo`lmagan va funksiyalarning ayirmasi sifatida ya`ni
(3)
Ko`rinishda yozish mumkinligidan kelib chiqadi.


2.2. Aniqmas Lеbеg intеgralining хоsilasi
2-teorema (Lebeg ). Jamlanuvchi funksiyaning aniqmas Lebeg integrali deyarli har bir nuqtada qiymati ga teng hosilaga ega
Isbot. 1-teoremaga asosan funksiya o`zgarishi chegaralangan funksiyadir. funksiy! esa deyarli har bir nuqtada chekli hosilaga ega. Endi (1) tengliknin` deyarli har bir nuqtada o`rinlli ekanligini funksiya manfiy bo`lmagan hol uchun ko`rsatish kifoya, chunki umumiy hol (3) tdnglik yordamida bu holga keltiriladi. manfiy bo`lmagani uchun unga monoton o`sib yaqinlashuvchi manfiy bo`lmagan pog`onali funksiyalar ketma-ketligi mavjud. Ravshanki, pog`onali funksiyaning aniqmas Lebeg integrali deyarli har bir nuqtada chekli . hosilaga ega va tenglik o`rinli

bo`lib bundan deyarli har bir nuqtada ushbu

tenglikka ega bo`lamiz.