|
Teorema 1. Ushbu bayonot n =1 uchun to'g'ri.
Teorema 2. Bu gap n =k +1 uchun to'g'ri bo'ladi, agar u n=k uchun to'g'ri bo'lsa, bu erda k - ixtiyoriy natural son.
Agar bu ikkala teorema isbotlangan bo'lsa, matematik induksiya printsipiga asoslanib, bayonot har qanday teorema uchun to'g'ri bo'ladi.
tabiiy n.
Shuni ta'kidlash kerakki, matematik induksiya bilan isbotlash, albatta, 1 va 2-teoremalarni ham isbotlashni talab qiladi. 2-teoremani e'tiborsiz qoldirish noto'g'ri xulosalarga olib keladi (1-2-misollar). Keling, 1-teoremani isbotlash qanchalik zarurligini misol orqali ko'rsatamiz.
3-misol. "Teorema": har bir natural son undan keyingi natural songa teng.
Isbotlash matematik induksiya usuli bilan amalga oshiriladi.
Faraz qilaylik, k =k +1 (1).
k +1=k +2 (2) ekanligini isbotlaylik. Buning uchun "tenglik" (1) ning har bir qismiga 1 qo'shing.Biz "tenglik" (2) olamiz. Ma’lum bo‘lishicha, agar n =k uchun gap to‘g‘ri bo‘lsa, n =k +1 uchun ham to‘g‘ri bo‘ladi. va hokazo.
“Teorema”dan aniq “natija”: barcha natural sonlar tengdir.
Xato shundan iboratki, matematik induksiya tamoyilini qo‘llash uchun zarur bo‘lgan 1-teorema isbotlanmagan va haqiqat emas, faqat ikkinchi teorema isbotlangan.
1 va 2 teoremalar alohida ahamiyatga ega.
1-teorema induksiya uchun asos yaratadi. 2-teorema ushbu bazani cheksiz avtomatik ravishda kengaytirish huquqini, ushbu aniq holatdan keyingisiga, n dan n + 1 ga o'tish huquqini beradi.
Agar 1-teorema isbotlanmagan bo'lsa-da, lekin 2-teorema isbotlangan bo'lsa, demak, induksiyani o'tkazish uchun asos yaratilmagan va keyin 2-teoremani qo'llashning ma'nosi yo'q, chunki aslida kengaytirish uchun hech narsa yo'q. .
Agar 2-teorema isbotlanmagan bo'lsa va faqat 1-teorema isbotlangan bo'lsa, u holda induksiyani o'tkazish uchun asos yaratilgan bo'lsa-da, bu asosni kengaytirish huquqi yo'q.
Izohlar.
Ba'zan isbotning ikkinchi qismi faqat n =k uchun emas, balki n =k -1 uchun ham bayonotning haqiqiyligiga asoslanadi. Bunday holda, birinchi qismdagi bayonot n ning keyingi ikkita qiymati uchun sinovdan o'tkazilishi kerak.
Ba'zida gap har qanday natural n uchun emas, balki n > m uchun isbotlanadi, bu erda m qandaydir butun sondir. Bunday holda, isbotning birinchi qismida tasdiq n = m +1 uchun, agar kerak bo'lsa, n ning bir nechta keyingi qiymatlari uchun tekshiriladi.
Aytilganlarni umumlashtirib, bizda shunday bo'ladi: matematik induksiya usuli umumiy qonunni izlashda bu holatda paydo bo'ladigan gipotezalarni sinab ko'rish, yolg'onni rad etish va haqiqatni tasdiqlash imkonini beradi.
Har bir inson individual kuzatishlar va tajribalar natijalarini umumlashtirish jarayonlarining rolini biladi (ya'ni induksiya) empirik, eksperimental fanlar. Boshqa tomondan, matematika uzoq vaqtdan beri sof deduktiv usullarni amalga oshirishning klassik namunasi hisoblanadi, chunki har doim aniq yoki bilvosita barcha matematik takliflar (boshlang'ich sifatida qabul qilinganlardan tashqari - aksiomalar) isbotlangan va maxsus qo'llanmalar mavjud deb taxmin qilinadi. bu mulohazalar umumiy holatlar uchun mos dalillardan (chegirma) olingan.
Induksiya matematikada nimani anglatadi? Buni unchalik ishonchli bo'lmagan usul deb tushunish kerakmi va bunday induktiv usullarning ishonchliligi mezonini qanday izlash kerak? Yoki eksperimental fanlarning eksperimental umumlashtirishlari bilan bir xil tabiatdagi matematik xulosalarning aniqligi, har qanday isbotlangan faktni "tasdiqlash" yomon bo'lmaydimi? Aslida esa bunday emas.
Gipoteza bo'yicha induksiya (yo'l-yo'riq) matematikada juda muhim, ammo sof evristik rol o'ynaydi: bu yechim qanday bo'lishi kerakligini taxmin qilish imkonini beradi. Ammo matematik takliflar faqat deduktiv tarzda o'rnatiladi. Matematik induksiya usuli esa sof deduktiv isbot usulidir. Darhaqiqat, bu usul bilan amalga oshirilgan isbot ikki qismdan iborat:
"asos" deb ataladigan narsa - bir (yoki bir nechta) natural sonlar uchun kerakli jumlaning deduktiv isboti;
umumiy gapning deduktiv isbotidan iborat induktiv qadam. Teorema barcha natural sonlar uchun aniq isbotlangan. Isbotlangan asosdan, masalan, 0 raqami uchun, biz induksiya bosqichida 1 raqamiga dalil olamiz, keyin xuddi shu tarzda 2 uchun, 3 uchun ... - va shuning uchun bayonotni oqlash mumkin. har qanday natural son. Boshqacha qilib aytganda, "matematik induksiya" nomi bu usulning bizning ongimizda oddiygina an'anaviy induktiv fikrlash bilan bog'langanligi bilan bog'liq (oxir-oqibat, asos faqat ma'lum bir holat uchun isbotlangan); induktiv qadam, tabiiy va ijtimoiy fanlar tajribasiga asoslangan induktiv fikrlashning ishonchlilik mezonlaridan farqli o'laroq, hech qanday alohida asosga muhtoj bo'lmagan va deduktiv fikrlashning qat'iy qonunlariga muvofiq isbotlangan umumiy bayonotdir. Shuning uchun matematik induktsiya deduktiv, to'liq ishonchli isbot usuli bo'lgani uchun "to'liq" yoki "mukammal" deb ataladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
