Mundarija I. Kirish II. Asosiy qism

TEOREMA. Agar Y_i lar (1) sistemaning xususiy yechimlari bo’lsa uning umumiy yechimini topish, unga mos bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasini umumiy yechimini topishga keltiriladi.
ISBOT. y_i=Y_i+z_i (3) almashtirishini olamiz bunda z_i yangi no’malum funksiya.
(3) ni (1) sistemaga qo’ysak

yoki
(4)
lekin

bo’lgan uchun (4) sistemadan
(5)
ga ega bo’lamiz. Bu esa bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemadir. Faraz etaylik (5) sistemaning umumiy yechimi

bo’lsin u vaqtda (3) ga asosan (1) sistemaning umumiy yechimi

dan iborat bo’ladi.
Keyingi reja Chiziqli bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan o’zgarmas koiffisientli tenglamalarga doir misollar. Bu rejada quyidagilarni yozdim.
Chiziqli bir jinisli tenglamaga doir.
1-m i so l. Ushbu y"—3y' +2y=0 tenglamani yeching.
Ye ch i sh. k² + 3k +2=0 berilgan tenglamaning xarakteristik tenglamasi. Uning ildizlari: k₁= 1, k₂, =2. Fundamental yechimlar sistemasi: y₁ = e^x , y₂ = e^2x. Differensial tenglamaning umumiy yechimi esa
Y=C₁e^x+ C₂e^2x
bo’ladi.
b) Xarakteristik tenglamaning ildizlari xakitsiy va teng:
k_r = k₂ = -
Bitta xususiy yechim: y₁ = yuqoridagi muloxazalar asosida hosil qilinadi. funksiya ikkinchi xususiy yechim sifatida qaralishi mumkin emas, chunki = . Shunday xususiy yechim topish kerakki, u birinchi yechim y₁ = bilan chizikli erkli bulsin. Ikkinchi yechim y₂ = funksiya bo’lishi mumkinligini ko’rsataylik. U y₁ bilan chizikli erkli, chunki



Bu y₂ = x funksiya tenglamani kanoatlantirishini tekshirish qoldi. Uni ikki marta differensiallaymiz:



y₂, y₂^’,y₂^’’ larni berilgan tenglamaga qo’yamiz:
[(k²₁x + 2k₁) + p (1 + k₁x) + qx] = 0.
Qo’shiluvchilarni qayta guruhlaymiz va 0 ga qisqartiramiz:
x(k²₁ + pk₁ +q ) + (2k₁ + p) = 0.
k₁ xarakteristik tenglamaning ildizi bulgani uchun tenglamadagi birinchi qavs aynan nolga teng, ya’ni k²₁ + pk₁ +q . k_{ — karrali ildiz, ya’ni k₁=k₂ =- yoki 2k₁ =-p bulgani uchun tenglamadagidagi ikkinchi qavs ham aynan nolga teng, ya’ni 2k₁ + p = 0. Demak, y₂=x funksiya tenglamaning yechimi buladi va y₁ = bilan chizikli erkli. Shunday qilib, y₁ = va y₂ = = x yechimlar tenglama yechimlarsning fundamental sistemasini tashkil etadi. Demak, bu funksiyalarning chizikli kombinatsiyasi

bu tenglamaning umumiy yechimini beradi.

Chiziqli bir jinisli bo’lmagan tenglamalarga doir.
1-misol. Ushbu differensial tenglamani yeching:
y" + y' = tgx.
Yechish. Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasi k³ + k=0, k₁=0, k_2,3 = 1 ildizlarga ega. Mos bir jinsli tenglamaning yechimi:
Y=C₁+ C₂cosx+ C₃sinx
ya’ni
y₁ = 1. y₂ = cosx, y₃ = sinx.
Xususiy yechimni xam shu ko’rinishda izlaymiz. Bunday tenglama uchun sistema quyidagi kurinishda buladi:



Ikkinchi tenglamaning ikkala qismini sinx ga, uchinchi tenglama­ning ikkala qismini esa cos x ga ko’paytirib, qo’shsak C^’₂ = - sin x ni xosil qlamiz. U xolda ikkinchi tengla madan C^’₃ = kelib chiqadi. Birinchi va uchinchi tenglamalarning ikkala kismlarini qo’shib, C^’₁=tgx ni topamiz. Integrallash quyidagini beradi:

Bu yerdan berilgan bir jinsli bo’lmagan tenglamaning umumiy yechimini quyidagi ko’rinishda hosil kilamiz:

yoki

bu yerda sin²x+cos²x = 1 bulgani uchun