Mundarija I. Kirish II. Asosiy qism

Chiziqli bir jinisli va bir jinisli bo’lmagan o’zgarmas koiffisientli tenglamalarga doir misollar
Chiziqli bir jinisli tenglamaga doir.
1-m i so l. Ushbu y"—3y' +2y=0 tenglamani yeching.
Ye ch i sh. k² + 3k +2=0 berilgan tenglamaning xarakteristik tenglamasi. Uning ildizlari: k₁= 1, k₂, =2. Fundamental yechimlar sistemasi: y₁ = e^x , y₂ = e^2x. Differensial tenglamaning umumiy yechimi esa
Y=C₁e^x+ C₂e^2x
bo’ladi.
b) Xarakteristik tenglamaning ildizlari xakitsiy va teng:
k_r = k₂ = -
Bitta xususiy yechim: y₁ = yuqoridagi muloxazalar asosida hosil qilinadi. funksiya ikkinchi xususiy yechim sifatida qaralishi mumkin emas, chunki = . Shunday xususiy yechim topish kerakki, u birinchi yechim y₁ = bilan chizikli erkli bulsin. Ikkinchi yechim y₂ = funksiya bo’lishi mumkinligini ko’rsataylik. U y₁ bilan chizikli erkli, chunki



Bu y₂ = x funksiya tenglamani kanoatlantirishini tekshirish qoldi. Uni ikki marta differensiallaymiz:



y₂, y₂^’,y₂^’’ larni berilgan tenglamaga qo’yamiz:
[(k²₁x + 2k₁) + p (1 + k₁x) + qx] = 0.
Qo’shiluvchilarni qayta guruhlaymiz va 0 ga qisqartiramiz:
x(k²₁ + pk₁ +q ) + (2k₁ + p) = 0.
k₁ xarakteristik tenglamaning ildizi bulgani uchun tenglamadagi birinchi qavs aynan nolga teng, ya’ni k²₁ + pk₁ +q . k_{ — karrali ildiz, ya’ni k₁=k₂ =- yoki 2k₁ =-p bulgani uchun tenglamadagidagi ikkinchi qavs ham aynan nolga teng, ya’ni 2k₁ + p = 0. Demak, y₂=x funksiya tenglamaning yechimi buladi va y₁ = bilan chizikli erkli. Shunday qilib, y₁ = va y₂ = = x yechimlar tenglama yechimlarsning fundamental sistemasini tashkil etadi. Demak, bu funksiyalarning chizikli kombinatsiyasi

bu tenglamaning umumiy yechimini beradi.

Chiziqli bir jinisli bo’lmagan tenglamalarga doir.
1-misol. Ushbu differensial tenglamani yeching:
y" + y' = tgx.
Yechish. Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasi k³ + k=0, k₁=0, k_2,3 = 1 ildizlarga ega. Mos bir jinsli tenglamaning yechimi:
Y=C₁+ C₂cosx+ C₃sinx
ya’ni
y₁ = 1. y₂ = cosx, y₃ = sinx.
Xususiy yechimni xam shu ko’rinishda izlaymiz. Bunday tenglama uchun sistema quyidagi kurinishda buladi:



Ikkinchi tenglamaning ikkala qismini sinx ga, uchinchi tenglama­ning ikkala qismini esa cos x ga ko’paytirib, qo’shsak C^’₂ = - sin x ni xosil qlamiz. U xolda ikkinchi tengla madan C^’₃ = kelib chiqadi. Birinchi va uchinchi tenglamalarning ikkala kismlarini qo’shib, C^’₁=tgx ni topamiz. Integrallash quyidagini beradi:

Bu yerdan berilgan bir jinsli bo’lmagan tenglamaning umumiy yechimini quyidagi ko’rinishda hosil kilamiz:

yoki

bu yerda sin²x+cos²x = 1 bulgani uchun


XULOSA
Mazkur kurs ishidan asosiy maqsad – Kompleks differensial tenglamalrni yechish usullarini mukammal o’rganib keyingi ish faolyatimga poydevor qurishdir.
Ushbu kurs ishda men Kompleks differensial tenglamalrni yechish usullarini o’rganishga harakat qildim. Bu kurs ishimni tayyorlash jarayonida men o’zim uchun bilgan bilmaganlarimni o’rgandim, va men o’rganishim kerak bo’lgan qirralari ko’pligini angladim. Endi kelajakda bu o’rganganlarim o’zimning mehnat faolyatimda juda katta samara beradi va asqotadi.

1. 
   Kurs ishida quyidagilar o’rganildi: Kirish
   

Rejaning bu qismida shu larni yoritganman. Matematika olamini o‘rganishga bel bog‘lagan har bir o‘quvchi chidamli va matonatli bo‘lmog‘i lozim. Uchragan tushunchalar, fikrlarning mantiqiy tuzilishi, teorema va formulalarning ma’nosi va o‘rinlilik shartlari to‘g‘risida, albatta, fikrlash hamda matematik masalalar yechish kerak bo‘ladi.
Bizga o‘rta maktabdan yaxshi tanish bo‘lgan kvadrat tenglamada noma’lum sondan iborat bo‘ladi. Differensial tenglamada esa noma’lum matematikaning songa qaraganda murakkabroq ob’yekti bo‘lgan funksiyadan iborat. Differensial tenglama deb noma’lun funksiya hosilalari va argument(lar) qatnashgan tenglamaga aytiladi (bu ta’rif aniq va qat’iy emas, aniq va qat’iy ta’rifni keyinroq keltiramiz). Differensial tenglamalar ikki turga bo‘linadi: oddiy differensial tenglamalar (qisqacha differensial tenglamalar) va xususiy hosilali differensial tenglamalar. Oddiy differensial tenglamada noma’lum funksiya bir dona (odatda haqiqiy) erkli o‘zgaruvchiga bog‘liq, xususiy hosilali tenglamada esa noma’lum funksiya ikki yoki undan ortiq argumentlarga bog‘liq bo‘ladi. Differensial tenglamaning tartibi deb shu tenglamada qatnashgan noma’lum funksiya hosilasining eng yuqori tartibiga aytiladi.

Masalan, ushbu