Mundarija I. Kirish II. Asosiy qism

y'3 - y² ln(2 - x) +1 + sin x - 0
(y = y (x) - bir o’zgaruvchining noma’lum funksiyasi),
x''' + x"x '² - 2sin t = 0
(x=x(t)- bir o‘zgaruvchining noma’lum funksiyasi), tenglamalar mos ravishda birinchi va uchinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar,
+ =0
(u =u(x,y)-ikki o‘zgaruvchining noma’lum funksiyasi),

+ + =0
(u =u(x,y,z)-uch o‘zgaruvchining noma’lum funksiyasi), tenglamalar esa mos ravishda birinchi va ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalardir.
Keyin Asosiy qism. Bu qism 3 ta rejadan tashkil topgan. Bular Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisientli tenglamalar, Chiziqli bir jinsli bo’lmagan o’zgarmas koeffisientli tenglamalar, Chiziqli bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan o’zgarmas koeffisientli tenglamalarga doir misollar.
Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koiffisientli tenglamalar. Bu rejada men quidagilarni yoritganman.
Bunday sistemaning sodda ko’rinishi

dan iborat, bunda o’zgarmas sonlar. esa ko’rilayotgan oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiyadir.
Ma’lumki, bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topish uchun, unga mos bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topishga to’g’ri keladi.
Shuning uchun xam biz dastavval o’zgarmas koeffisiyentli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini kvadratsiz topish usulini qaraymiz.
Bir jinsli, o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin.
(2)
Ma’lumki (2) sistemani, unga ekvivalent bo’lgan bitta -tartibli differensial tenglamaga keltirish mumkin.
Shuning uchun (2) sistemasining xususiy yechimlarini
(3)
ko’rinishda izlaymiz.
Bunda va lar o’zgarmas sonlardir.
Ularni shunday tanlab olamizki (3), (2) sistemani qanoatlantirsin.
Buning uchun (2) ga (3) olib borib qo’yamiz.
yoki buni ochib yozsak
(4).
Bu larga nisbatan bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasidir.Bu sistema trivial bo’lmagan yechimga ega bulishligi uchun, uning asos determinanti nolga teng bo’lishi zarur.
(5).
(5) ga (2) sistemaga mos bo’lgan xarakteristik tenglama deyiladi. Uning ildizlariga xarakteristik son deyiladi.
(5) ga nisbatan n- darajali algebraik tenglamadir
(3), (2) sistemaning xususiy yechimi bo’lishligi uchun (5) xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lishi kerak.
(4) ning koeffisiyentlaridan ushbu matrisani tuzamiz
(6).
a) Faraz etaylik xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va bir-biriga teng bo’lmasin.
Agar ildizni (5) ga olib borib qo’ysak
(7) bo’ladi.
Isbot etamizkim qiymatda (5) determinantning xech bo’lmaganda tartibli minorlaridan biri nolga teng bo’lmaydi.
Haqiqatan xam xarakteristik tenglamaning oddiy ildizi bo’lgani uchun
(8)
nolga teng bo’lmaydi.
Ikkinchi tomondan
(9)
Bunda determinantdagi elementining algebraik tuldiruvchisi bo’ladi.Agar kiymatini (9) keltirib qo’ysak (8) ga asosan larning xech bo’lmaganda biri nolga teng bo’lmaydi, ya’ni (9) dagi n-1 tartibli determinantlardan xech bo’lmaganda biri nolga teng bo’lmaydi.
Bundan, (6) matrisaning rangi n-1 ga tengligi kelib chiqadi. Ya’ni (4) sistemadagi tenglamalardan biri qolganlarini natijasi ekanligi kelib chiqadi.
U xolda (4) sistema trivial bo’lmagan yechimlarga ega . Lekin matrisaning rangi n-1 ga teng bo’lgani uchun, bu ildizlar bir-biridan o’zgarmas songa fark kiladi.

Bunda lar o’zgarmas sonlardir.
Agar teng deb, bu qiymatlarni (3) ga qo’ysak, xarakteristik tenglamaning ildiziga mos bo’lgan (2) sistemaning xususiy yechimlari.
(10)
ga ega bo’lamiz.
Ma’lumki (2) sistemaning xususiy yechimlarini biror o’zgarmas songa ko’paytirsak, xosil bo’lgan ifoda yana berilgan sistemaning yechimi bo’ladi.
Shunga kura, xarakteristik tenglamaning ildizlari uchun yukoridagi muloxazalarni ishlatsak, sistemaning n- ta (10) ko’rinishdagi xususiy yechimlarini aniqlash mumkin.
Isbot etish mumkinkim, bu topilgan xususiy yechimlar, berilgan sistemaning fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi.
Keyingi reja Chiziqli bir jinsli bo’lmagan o’zgarmas koiffisientli tenglamalar. Bu rejada quyidagilarni yozdim.
Bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar sistemasining sodda ko’rinishi

dan iborat.
Bunda P_ij(x) va f_i(x) lar ko’rilayotgan oraliqda x ning uzluksiz funksiyasidir (1) sistemasining koeffisiyentlaridan tuzilgan
(2)
sistemaga, (1) tenglamalar sistemasiga mos bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi deyiladi.