Mulohazalar xisobining zidsizligi Ta’rif

Mulohazalar xisobining zidsizligi

Ta’rif.Agar aksiomatik nazariyada A va A ning inkori formulalarning ko’pi bilan bittasi keltirib chiqaruvchi bo’lsa ,bunday aksiomatik nazariya zidsiz deyiladi .

Teorema . Mulohazalar hisobi zidsiz nazariyadir .

Isbot.Haqiqatan ham,mulohazalar hisobida A va A ning inkori keltirib chiqariluvchi formulalar bo’lsalar , u holda A va Aning inkori formulalar ,mulohazalar algebrasining aynan rost formulalari bo’lar bo’lar edi.Buning bo’lishi mumkin emas.

Mulohazalar hisobining to’liqligi

Mulohazalar algebrasining A ( A_r . . . . . . . , A_n )formulasida A _p. . . . . , A_n o’zgaruvchi mulohazalarni 0 va 1 qiymatlar qabul qiluvchi I _p . . . . . . . i_n qiymatlar tizimi bilan almashtirib chiqamiz . Natijada A formula yo 0 , yo 1 qiymat qabul qiladi . Agar A_i – o’zgaruvchi mulohazani 1 bilan almashtirgan bo’lsak . A_i o’rniga mulohazalar hisobining r formulasini . A_i o’rniga mulohazalar hisobining R formulasini . A_i ni 0 bilan almashtirgan bo’lsak . A_i o’rniga mulohazalar hisobining f formulasini qo’yib , mulohazalar algebrasining a formulasi qiymatiga mos keladigan mulohazalar hisobining A^* formulasini hosil qilamiz .

Agar A formula 1 ga teng qiymat qabul qilsa . u holda A^* - R, 0 ga teng qiymat qabul qilsa , A^* -F bo’lishini ko’rsatamiz .

Isbotni matematik induksiya metodi bilan olib boramiz .

A formula o’zgaruvchi mulohazadan iborat bo’lsa , isbot ravshan .

A , B formulalar uchun yuqoridagi tasdiq o’rinli bo’lsin . U holda A kesishma B , A birlashuvchi B , A kesuvchi B , A impilikatsiya B , inkor A formulalar uchun ham tasdiq o’rinli ekanligini ko’rsatamiz .

A* orqali A ga mos , B^* orqali B ga mos mulohazalar hisobining formulalarini belgilab olamiz .

Akesishmasi B uchun isbotni to’liq keltiramiz ;

A=1 , B=1 bo’lsin . U holda induksiya faraziga ko’ra A^* -R , B*- R .

A*kesishuvchi B^* - R bo’lishini ko’rsatamiz . A^* kesishuvchi B* - r kesishuvchi bo’lishini ko’ramiz.

Teorema.Mulohazalar hisobi keng ma’noda to’liq aksiomatik nazariyadir.Ya’ni mulohazalarning algebrasining har bir aynan rost formulasi mulohazalar hisobining keltirib chiqariluvchi formulasi bo’ladi.

Isbot.A(A_1……..A_n)mulohazalar algebrasining aynan rost formulasi bo’lsin,u holda yuqorida isbot qilganimizga ko’ra A_1……….A_n larni o’rniga R va Flardan iborat ixtiyoriy d₁……d_ntizimni qo’ysak.

Teorema Mulohazalar hisobi tor ma’noda to’liq aksiomatik nazariyadir.

Isbot.A(A_1……A_n)formula mulohazalar hisobida keltirib chiqarilmaydigan formula bo’lsin.A(A_1…..A₁)formulani mulohazalar hisobining aksiomalar sistemasini hosil qilamiz.

A(A₁……A_n)mulohazalar hisobida keltirib chiqarilmaydigan bo’lganligi uchun A_1….A_n propozitsional o’zgaruvchilarning R va F lardan iborat shunday qiymatlari tizimi d_1….d_n mavjud bo’lib .A(d₁…d_n)F bo’ladi.Demak yangi aksiomalar sistemasidan ham Aning inkori (d_1….d_n)keltirib chiqariluvchi formula bo’ladi.Lekin,A(A₁…A_n)aksioma bo’lganligi uchun,yangi aksiomalar sistemasida A(d_1…..dn)keltirib chiqaruvchi formuladir.