Mulohazalar hisobi formulasi

Birinchi guruh aksiomalari:

I₁ x  ( y  x) .

I₂ (x  ( y  z))  ((x  y)  (x  z)).

Ikkinchi guruh aksiomalari:

II₁ II₂ II₃

x  y  x .

x  y  y .

(z  x)  ((z  y)  (z  x  y)) .

Uchinchi guruh aksiomalari:

III₁ III₂ III₃

x  x  y .

y  x  y .

(x  z)  ((y  z)  (x  y  z)) .

To‘rtinchi guruh aksiomalari:

IV₁ IV₂ IV₃

(x  y)  ( y  x) .

x  x .

x  x .

Keltirib chiqarish qoidalari

Keltirib chiqarish. O‘rniga qo‘yish, xulosa qoidalari. Aksiomalar sistemasi.

Isbotlash.

Bu paragrafda mulohazalar hisobida keltirib chiqarish qoidalari deb ataluvchi o„rniga qo„yish va xulosa qoidalari bayon qilinadi.

O‘rniga qo‘yish qoidasi. Agar A mulohazalar hisobining isbotlanuvchi formulasi, x o„zgaruvchi, B mulohazalar hisobining ixtiyoriy formulasi bo„lsa, u holda A formula ifodasidagi hamma x lar o„rniga B formulani qo„yish natijasida hosil qilingan formula ham isbotlanuvchi formula bo„ladi.

A formuladagi hamma x o„zgaruvchilar o„rniga B formulani qo„yish operasiyasini (jarayonini) o‘rniga qo‘yish qoidasi deb aytamiz va uni quyidagicha

B

belgilaymiz¹: _ ( A) .

x
O„rniga qo„yish qoidasiga quyidagi aniqliklarni kiritamiz:

B

1. 
   agar A faqat x o„zgaruvchidan iborat bo„lsa, u holda _ ( A)
   

x

o„rniga qo„yish

B formulani beradi;

2. 
   agar A formula x dan farqli y o„zgaruvchidan iborat bo„lsa, u vaqtda
   

B

_ ( A)

x

o„rniga qo„yish A ni beradi;

4. 
   agar A o„rniga qo„yish aniqlangan formula bo„lsa, u holda A formuladagi
   

x o„rniga B formulani qo„yish natijasida o„rniga qo„yishning inkori kelib chiqadi,

B

ya‟ni _ ( A)

x

B

o„rniga qo„yish _ ( A)

x

ni beradi.

4. 
   agar
   

A₁ va

A₂ formulalarda o„rniga qo„yish aniqlangan bo„lsa, u holda

B B B

_ ( A₁  A₂ ) o„rniga qo„yish _ ( A₁ )  _ ( A₂ )

ni beradi.

x x x




¹ Bu yerda matematik analizdagi integral belgisi ishlatilsada, uning ma‟nosi o„zgacha.

Agar A isbotlanuvchi formula bo„lsa, u holda uni  A shaklda yozishga
kelishamiz. U holda o„rniga qo„yish qoidasini quyidagicha sxematik ravishda
ifodalash mumkin:

B

_ ( A)

x

B

va uni “agar A isbotlanuvchi formula bo„lsa, u holda _ ( A)

x

ham isbotlanuvchi

formula bo„ladi” deb o„qiladi.

Xulosa qoidasi. Agar A va

A  B

mulohazalar hisobining isbotlanuvchi

formulalari bo„lsa, u holda B ham isbotlanuvchi formula bo„ladi. Bu qoida xulosa qoidasi deb yuritiladi va sxematik ravishda quyidagicha yoziladi:

.

1. t a ’ r i f (isbotlanuvchi formula ta’rifi).

1. 
   har qanday aksioma isbotlanuvchi formuladir;
   
2. 
   isbotlanuvchi formuladagi x o‘zgaruvchi o‘rniga ixtiyoriy B formulani qo‘yish natijasida hosil bo‘lgan formula isbotlanuvchi formula bo‘ladi;
   

4. 
   A va
   

A  B

isbotlanuvchi formulalardan xulosa qoidasini qo‘llash

natijasida olingan B formula isbotlanuvchi formuladir;

4. 
   Mulohazalar hisobining boshqa hech qanday formulasi isbotlanuvchi formula emas.
   

2. 
   t a ’ r i f . Isbotlanuvchi formulalarni hosil qilish protsessi (jarayoni) isbot qilish (isbotlash) deb ataladi.
   

1. m i s o l .

• 
  A  A
  

bo„lishini (implikasiyaning refleksivligini) isbotlaymiz.

Buning uchun I₂ aksiomadan foydalanamiz. Bu yerda

x

_ (I ₂ )

z

o„rniga qo„yishni

bajarish natijasida

 (x  ( y  x))  ((x  y)  (x  x))

(1)

kelib chiqadi. I₂ aksioma va (1) formulaga xulosa qoidasini qo„llab

 (x  y)  (x  x)

formulani hosil qilamiz.

(2)

x

(2) formulaga nisbatan _ (2)

y

o„rniga qo„yishni bajarish natijasida

 (x x )  (x  x)

isbotlanuvchi formulaga ega bo„lamiz.

(3)

IV₂ aksioma va (3) formulaga nisbatan xulosa qoidasini qo„llash natijasida

 x  x (4)

isbotlanuvchi formulaga kelamiz. Nihoyat, (4) formuladagi x o„zgaruvchi o„rniga

A formulani qo„ysak

A  A

isbotlanishi kerak bo„lgan formula hosil bo„ladi. ■

2. m i s o l .

• 
  x  y  x  y
  

ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatdan ham, II₃

aksiomaga nisbatan ketma-ket ikki marta o„rniga qo„yish usulini qo„llaymiz: avval ^x ni x ga va keyin y ni y ga almashtiramiz. Natijada quyidagi isbotlanuvchi formulaga ega bo„lamiz

 (z  x)  ((z  y)  (z  x  y)) . (5)

x y

5. 
   formulaga nisbatan _ (5)
   

z

o„rniga qo„yishni bajarib, quyidagini hosil qilamiz:

Endi

^{ ((x  y)  x)  ((x  y  y)  (x  y  x  y))}.

x  y  x , (6)

x  y  y (7)
formulalarning isbotlanuvchi ekanligini ko„rsatamiz. Buning uchun IV₁ aksiomaga

x y

nisbatan _ (IV₁)

y
o„rniga qo„yishni bajaramiz. Natijada
^{ (x  x  y)  (x  y  x)} (8)

formulaga ega bo„lamiz. (8) formula va III₁ aksiomaga nisbatan xulosa qoidasini ishlatib, (6) formulaning isbotlanuvchi formula ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Xuddi shu kabi (7) formulaning ham isbotlanuvchi formula ekanligini ko„rsatish mumkin.

5. 
   va (5) formulalarga xulosa qoidasini qo„llasak,
   

 (x  y  y)  (x  y  x  y)

isbotlanuvchi formula kelib chiqadi.

(9)

5. 
   va (9) formulalarga xulosa qoidasini qo„llab, berilgan
   

• 
  x  y  x  y
  

formulaning isbotlanuvchi ekanligini hosil qilamiz. ■

Keltirib chiqarish qoidasining hosilalari

Formula. Hosilaviy qoidalar. Bir vaqtda o‘rniga qo‘yish, murakkab xulosa, sillogizm, kontrpozisiya, ikki karralik inkorni tushirish qoidalari.
O„rniga qo„yish va xulosa qoidalari singari keltirib chiqarish qoidasining hosilalari ham yangi isbotlanuvchi formulalar hosil qilishga imkon yaratadi.

Bir vaqtda o‘rniga qo‘yish qoidasi.

Ta ’ r i f . Agar

A(x₁, x₂ ,..., x_n )

– isbotlanuvchi formula va

B₁ , B₂ ,..., B_n

mulohazalar hisobining ixtiyoriy formulalari bo‘lsa, u holda A formulaning

x₁ , x₂ ,..., x_n

o‘zgaruvchilari o‘rniga bir vaqtda mos ravishda

B₁ , B₂ ,..., B_n

^{formulalarni qo‘yish natijasida} C ^{isbotlanuvchi formulani hosil qilish bir vaqtda} o‘rniga qo‘yish qoidasi deb ataladi.

z₁ , z₂ ,..., z_n

o„zgaruvchilar

A, B₁, B₂ ,..., B_n

formulalardagi boshqa

o„zgaruvchilardan farq qiluvchi o„zgaruvchilar va

z_i  z _j

( i, j  1, n ) bo„lsin. U holda

A formulaga n ta o„rniga qo„yishni ketma-ket bajaramiz: avval

x₁ o„rniga

z₁ ni,

keyin

x₂ o„rniga

z₂ ni va hokazo

x_n o„rniga

z_n ni qo„yamiz. Natijada quyidagi

isbotlanuvchi formulalarga ega bo„lamiz:

z₁

_ ( A)

x₁

o„rniga qo„yish

• 
  A₁ ni,
  

z₂

 _ ( A₁ )

x₂

o„rniga qo„yish

• 
  A₂ ni, va hokazo
  

z_n

 _ ( A_n1 )

x_n

o„rniga qo„yish

• 
  A_n ni beradi.
  

Bundan keyin A_n formulaga nisbatan yana n ta o„rniga qo„yishni ketma-ket

bajaramiz: avval

z₁ o„rniga

B₁ ni, keyin

z₂ o„rniga

B₂ ni va hokazo z_n

o„rniga

B_n ni

qo„yib chiqamiz. Buning natijasida

B₁

 _ ( A_n )

z₁

o„rniga qo„yishdan

• 
  C₁ ni,
  

B₂

 _ (C₁ )

z₂

o„rniga qo„yishdan

• 
  C₂ ni va hokazo
  

B_n

 _ (C_n1 )

z_n

o„rniga qo„yishdan

• 
  C_n ni hosil
  

qilamiz. Demak, C_n

isbotlanuvchi formula A formuladagi

x₁ , x₂ ,..., x_n

o„zgaruvchilar o„rniga bir vaqtda mos ravishda natijasida hosil bo„ladi.

B₁ , B₂ ,..., B_n

formulalarni qo„yish

Bir vaqtda o„rniga qo„yish operasiyasini (qoidasini) quyidagicha ifodalaymiz
. (1)

B₁ ,B₂ ,...,B_n

 _ ( A)

x₁ , x₂ ,...,x_n

Murakkab xulosa qoidasi. Bu qoidada

 A₁  ( A₂  ( A₃  (...( A_n  L)...)))

ko„rinishdagi formulalarga nisbatan ikkinchi hosilaviy qoida ishlatiladi va uni quyidagi tasdiq orqali izohlash mumkin.

1. t e o r e m a . Agar

A₁ , A₂ ,..., A_n

va

A₁  ( A₂  ( A₃  (...( A_n  L)...)))
(2)

isbotlanuvchi formulalar bo‘lsa, u holda L ham isbotlanuvchi formula bo‘ladi.

I s b o t i . Xulosa qoidasini ketma-ket qo„llaymiz. Agar isbotlanuvchi formulalar bo„lsa, u holda xulosa qoidasiga asosan

A₂  ( A₃  (...( A_n  L)...))

A₁ va (2)
(3)

ham isbotlanuvchi formula bo„ladi. uchun

A₂ va (3) isbotlanuvchi formula bo„lganligi

A₃  (...( A_n  L)...) (4)

formula ham isbotlanuvchi bo„ladi. Muhokamani xuddi shunday davom ettirib, natijada L isbotlanuvchi formula ekanligiga ishonch hosil qilamiz. ■

Murakkab xulosa qoidasini sxematik ravishda quyidagicha yozish mumkin:

 A1,

 A2,...,

 An ,

 A1  ( A2  ( A3  (...( An  L)...)))

. (5)

• 
  L
  

Sillogizm² qoidasi.

2. 
   ^{t e o r e m a . Agar} A  B ^va B  C ^{isbotlanuvchi formulalar bo‘lsa, u}
   

holda

A  C

ham isbotlanuvchi formula bo‘ladi.

I s b o t i . Teoremani sxematik ravishda quyidagicha yozamiz
. (6)

I₁ va I₂ aksiomalarga nisbatan


A,B,C

_ (I₂ )

x, y , z


BC , A

va _ (I₁ )

x, y

bir vaqtda o„rniga qo„yish qoidalarini qo„llash natijasida quyidagi isbotlanuvchi formulalarni hosil qilamiz:

 A  (B  C))  ((A  B)  ( A  C)), (7)

 (B  C)  ( A  (B  C)). (8)

Teoremaning shartiga asosan

 A  B , (9)

formulalar isbotlanuvchidir.

• 
  B  C
  

(10)

(10) va (8) formulalardan xulosa qoidasiga asosan

 A  (B  C)

(11)

formulani hosil qilamiz. U vaqtda (11), (9) va (7) formulalardan murakkab xulosa

qoidasiga asosan

 A  C

ekanligi kelib chiqadi. ■

² Bu so„z negizida yunoncha συλλογισμός (syllogismos) so„zi yotadi, u mantiqan kelib chiqish ma‟nosini beradi.

Agar

A  B ^va

B  C

isbotlanuvchi formulalar bo„lsa, u holda

A  C

ham

isbotlanuvchi formula bo„lishini sillogizm qoidasi deb ataymiz.

4.3.4. Kontrpozisiya qoidasi.

3. 
   t e o r e m a . Agar
   

A  B

isbotlanuvchi formula bo‘lsa, u holda

B  A

ham isbotlanuvchi formula, ya’ni
(12)
bo„ladi.

I s b o t i . IV₁ aksiomaga nisbatan

A,B

_ (IV₁ )

x, y
bir vaqtda o„rniga qo„yish qoidasini qo„llab,

 ( A  B) (B  A)

(13)

isbotlanuvchi formulani hosil qilamiz.

Teoremaning shartiga asosan

• 
  A  B
  

(14)

isbotlanuvchi formuladir. Shuning uchun (14) va (13) formulalardan xulosa

qoidasiga asosan  (B  A) isbotlanuvchi formula ekanligi kelib chiqadi. ■

Agar

A  B ^{isbotlanuvchi formula bo„lsa, u holda}


B  A

ham isbotlanuvchi

formula bo„lishini kontrpozisiya qoidasi deb ataymiz.

Ikki karralik inkorni tushirish qoidasi.

4- t e o r e m a . 1) Agar

A  B

isbotlanuvchi formula bo‘lsa, u holda

A  B

ham isbotlanuvchi formula bo‘ladi;

2) Agar

A  B

isbotlanuvchi formula bo‘lsa, u holda

A  B

formula ham

isbotlanuvchi formula, ya’ni



va
bo‘ladi.

(15)

I s b o t i . IV₂ va IV₃ aksiomalarga nisbatan

A

_ (IV₂ )

x
o„rniga qo„yish qoidalarini qo„llab,

B

va _ (IV₃ )

x

 A  A , (16)

B  B

isbotlanuvchi formulalarni hosil qilamiz.

Teoremaning 1) va 2) shartlariga asosan

(17)

 A  B , (18)
 A  B (19)
formulalar isbotlanuvchidir. Agar teoremaning 1) sharti bajarilsa, u holda (17) va

(18) formulalardan sillogizm qoidasiga asosan

• 
  A  B
  

kelib chiqadi. Agar 2)

sharti bajarilsa, u holda (16) va (19) formulalardan

• 
  A  B
  

kelib chiqadi. ■

Agar

A  B

( A  B ) isbotlanuvchi formula bo„lsa, u holda

A  B

ham

isbotlanuvchi formula bo„lishini ikki karralik inkorni tushirish qoidasi deb ataymiz.
Masala va topshiriqlar

1. 
   Quyidagi ifodalarning qaysilari mulohazalar hisobining formulalari bo„lishini aniqlang:
   

a) ( p₁  p₂ )  ( p₁  p₂ ) ; b) (( p₁  p₂ )  ( p₁ p₂ ))  p₃ ;

d) ( p₁  ( p₂  p₃ ))  p₃ ; e)

f) ( p₁  p₂ )  (( p₁  p₂ )  p₁);

( p₁ ( p₂ )  ( p₂  p₁) ;

g) ( p₁  p₃ )  (( p₂  p₃ )  (( p₁  p₂ )  p₃ )) ;

h) (( p₁  p₂ )  ( p₁  p₃ ))  ( p₁  ( p₂  p₃ )) ;

i) (( p₁  p₂ )  ( p₁   p₂ ))  ( p₁  p₂ ).

2. 
   Quyidagi formulalarning hamma qismiy formulalarini toping:
   

a) ^{x  y  (x  y)} ; b) (x  y)  (xy) ;

d) x  ( y  x) ; e)

f) a  c  b ; g)

h) x  yz  x ; i)

j) ((x  x)  ( y  z))  (x  z) ;


a  b  c ;

x  y  z ;

x  y  x  y ;

k) (x  y)  ((x  y)  y).

3. L₁  ( A  B)  (B  A),

L₂  A  B va

L₃  A  B  C

formulalar uchun quyidagi

o„rniga qo„yishlarning natijalarini aniqlang:

B,C
AB
B A B,B

a) _ ^(L₁ ⁾ ; b) _ (L₂ ) ; d) _ ^(L₃ ⁾ ;

^A,B A ^A,C

A B, A B

B, A


A A ,C , A

e) _ (L₁ ) ; f) _ (L₂ ) ; g) _ (L₃ ) .

A,B

A,B

A,B,C

4. 
   O„rniga qo„yish qoidasini qo„llab, quyidagi formulalarning isbotlanuvchi ekanligini ko„rsating:
   
   1. 
      ^{( A  B)  B  B ; b)} A  B  A  B  C ^;
      

d) ( A  B)  ((C  B)  ( A  C  B));

e) ^{C  D  C  D} ;

f) ( A  B  (C  B  C))  ((A  B  C)  ( A  B  B  C)).

4. 
   O„rniga qo„yish va xulosa qodalarini qo„llab, quyidagi formulalarning isbotlanuvchi ekanligini aniqlang:
   

1. 
   A  A  A ^{; b)}
   

A  A  A ^{; d)}

A  B  B  A ^;

^e) A  B  B  A ^{; f)}

( A  B)  ( A  A) ; g)

A  A .