Moluch 251 c indd

2. 

-расслоенные классы Фиттинга конечных групп 
 
Функции :
{ }
f




{классы Фиттинга групп}, 
:

J

{непустые формации Фиттинга}, принимающие одинако-
вые значения на изоморфных группах из области определения, называются соответственно 
R

-функцией
и 
FR -
функцией 
[3]. Класс Фиттинга 
(
|
( )
( )
G
O G
f




F
E


и 
( )
( )
A
G
f A


для любого 
( )
A K G



) 
называется 

-расслоенным классом Фиттинга
с 
R

-спутником
f
и 
направлением

 
и
 
обозначается 
( , )
R f

F


[3]. Пусть 
.
A
 
Направление 


-
расслоенного класса Фиттинга называется 
A
b -направлением
, 
если 
( )
( )
A
A
A

E


[4]. 
Теорема 2.1. 
Пусть 
1
(1)

F
, 
( , )
FR f

F

, где 

— 
произвольная
FR -функция, f — R

-функция такая, 
что 
( ) (1)
f
 

 и для любого 
A


 выполняется 
( )
f A

. Тогда 
1

F
F.
 
Доказательство. 1) Установим, что 
1

F
F.
Пусть 
1
.
G

F
Тогда 
1
G

. Поэтому 
( ) 1
O G


. Таким образом, 
( )
O G

F

. Это означает, что ( )
( )
O G
f




. Далее, так как 
1
G

, то ( )
K G

и, значит, 
( )
K G



. Поэтому вто-
рое условие из определения 
F
выполняется. Следовательно, 
G

F
и 
1

F
F.
2) Покажем, что 
1

F
F
. Пусть 
.
G

F
Тогда ( )
( ) (1)
O G
f





. Поэтому 
( ) 1
O G


и /
( )
G O G
G
 
E


. Тогда 
( )
K G


. Так как 
G

F
, то 
( )
( )
A
G
f A



для любого 
( )
A
K G
 

. Так как ( )
K G


, то ( )
K G

. Поэтому 
1
G

и, значит, 
1
(1)
G


F
. Таким образом, 
1

F
F
. 
Из 1) и 2) следует, что 
1
.

F
F
Тем самым установлено, что класс (1)
—

-
расслоенный класс Фиттинга с 

-
спутником 
f
, описанным в условии теоремы, и любым направлением 

. Теорема доказана. 
Теорема 2.2. 
Пусть 
1

F
E
,
 
( , ),
R f

F


 где 


произвольная
FR -функция, f — R

-функция такая, что 
( )
f
 
E

 и для любого 
A


 выполняется 
( )
f A

E.
 Тогда 
1

F
F.
 
Доказательство. 1) Покажем, что 
1

F
F
. Пусть 
1
G

F
. Тогда 
1
( )
( )
O G
f

 
F


и 
( )
( )
A
G
f A
 
E

для любого 
( )
A K G



. Следовательно, 
G

F
. Поэтому 
1

F
F
. 
2) Покажем, что 
1

F
F
. Так как 
1
F

множество всех конечных групп, а 
F
состоит только из конечных групп, то 
1

F
F
. 
Из 1) и 2) следует, что 
1

F
F
. Тем самым установлено, что 
E
 — 

-
расслоенный класс Фиттинга с 

-
спутником 
f
, описанным в условии теоремы, и направлением 

для любой 
FR
-функции 

. Теорема доказана. 
Теорема 2.3. 
Пусть 
1


F
E

, 
( , )
R f

F


, где 

—
произвольная FR -функция, f — R

-функция такая, 
что 
( )
f

 
E


 и для любого 
A


 выполняется 
( )
f A

. Тогда 
1

F
F
. 
Доказательство. 1) Покажем, что 
1

F
F.
Пусть 
1
.
G

F
Так как 
1
( )
f




F
E


и ( )
f


— класс Фиттинга, то 
( )
( )
O G
f




. Покажем, что для любого 
( )
A K G



справедливо 
( )
( )
A
G
f A


. Действительно, так как 
( )
A K G



, то 
A


и, значит, ( )
f A

. Поскольку 
G


E

, то ( )
K G
 

. Следовательно, утверждение о том, 
что 
( )
( )
A
G
f A


для любого 
( )
A K G



, верно. Таким образом, 
G

F
и 
1

F
F.
 
2) Покажем, что 
1

F
F
. Пусть 
G

F
. Проверим, что 
1
G

F
. Так как 
G

F
, то 
( )
( )
A
G
f A


(а) для любого 
( )
A K G



. С другой стороны, для любого
( )
A K G



по заданию функции 
f
выполняется ( )
f A

 
(б). Из (а) и 
(б) следует, что ( )
K G
 

и, значит, 
G


E

. Следовательно, 
1
.
G

F
Таким образом, 
1

F
F
. 
Из 1) и 2) получаем, что 
1
F = F.
Тем самым установлено, что 

E

— 

-
расслоенный класс Фиттинга с 

-
спутником 
f
, описанным в условии теоремы, и любым направлением 

. Теорема доказана. 
Теорема 2.4. 
Пусть 
1
p

F
N
, 
p


, 
( , )
R f

F


, где 

 — 
p
Z
b
—
 
направление 

-расслоенного класса 
Фиттинга, 
f

 
R

-функция такая, что 
( )
p
f
 
N

и для любого 
A


выполняется
(1),
( )
,
\ ( )
p
p
если A Z
f A
если A
Z



 



. 
Тогда 
1
F = F.
 
Доказательство. 1) Покажем, что 
1

F
F.
Пусть 
1
G

F
. Так как 
1
( )
p
f



F
N

, 
то
 
( )
( )
O G
f




.
 
Пусть
( )
A
K G
 

. 
Установим, что
 
( )
( )
A
G
f A


.
 
Поскольку 
( )
A
K G
 

и 
p
G

N
, 
то 
( ).
p
A
Z

 
Отсюда следует, что
 
( )
( ) (1).
p
f A
f Z


Поэтому достаточно показать, что
 
( )
1
A
G


.
 
Действительно, так как 
p
G

N
и 
( )
( )
p
p
p
p
Z
Z


N
N


, то 
( )
p
G
Z


.
 
Отсюда следует, что
 
( )
1
( )
A
p
G
f Z
 

.
 
Таким образом
, 
G

F
 
и 
1

F
F
.
 

---

«Молодой учёный»
.
№ 13 (251)
 .
Март 2019 г.
4
Математика
Функции :
{ }
f




{классы Фиттинга групп}, 
:

J

{непустые формации Фиттинга}, принимающие одинако-
вые значения на изоморфных группах из области определения, называются соответственно 
R

-функцией
и 
FR -
функцией 
[3]. Класс Фиттинга 
(
|
( )
( )
G
O G
f




F
E


и 
( )
( )
A
G
f A


для любого 
( )
A K G



) 
называется 

-расслоенным классом Фиттинга
с 
R

-спутником
f
и 
направлением

 
и
 
обозначается 
( , )
R f

F


[3]. Пусть 
.
A
 
Направление 


-
расслоенного класса Фиттинга называется 
A
b -направлением
, 
если 
( )
( )
A
A
A

E


[4]. 
Теорема 2.1. 
Пусть 
1
(1)

F
, 
( , )
FR f

F

, где 

— 
произвольная
FR -функция, f — R

-функция такая, 
что 
( ) (1)
f
 

 и для любого 
A


 выполняется 
( )
f A

. Тогда 
1

F
F.
 
Доказательство. 1) Установим, что 
1

F
F.
Пусть 
1
.
G

F
Тогда 
1
G

. Поэтому 
( ) 1
O G


. Таким образом, 
( )
O G

F

. Это означает, что ( )
( )
O G
f




. Далее, так как 
1
G

, то ( )
K G

и, значит, 
( )
K G



. Поэтому вто-
рое условие из определения 
F
выполняется. Следовательно, 
G

F
и 
1

F
F.
2) Покажем, что 
1

F
F
. Пусть 
.
G

F
Тогда ( )
( ) (1)
O G
f





. Поэтому 
( ) 1
O G


и /
( )
G O G
G
 
E


. Тогда 
( )
K G


. Так как 
G

F
, то 
( )
( )
A
G
f A



для любого 
( )
A
K G
 

. Так как ( )
K G


, то ( )
K G

. Поэтому 
1
G

и, значит, 
1
(1)
G


F
. Таким образом, 
1

F
F
. 
Из 1) и 2) следует, что 
1
.

F
F
Тем самым установлено, что класс (1)
—

-
расслоенный класс Фиттинга с 

-
спутником 
f
, описанным в условии теоремы, и любым направлением 

. Теорема доказана. 
Теорема 2.2. 
Пусть 
1

F
E
,
 
( , ),
R f

F


 где 


произвольная
FR -функция, f — R

-функция такая, что 
( )
f
 
E

 и для любого 
A


 выполняется 
( )
f A

E.
 Тогда 
1

F
F.
 
Доказательство. 1) Покажем, что 
1

F
F
. Пусть 
1
G

F
. Тогда 
1
( )
( )
O G
f

 
F


и 
( )
( )
A
G
f A
 
E

для любого 
( )
A K G



. Следовательно, 
G

F
. Поэтому 
1

F
F
. 
2) Покажем, что 
1

F
F
. Так как 
1
F

множество всех конечных групп, а 
F
состоит только из конечных групп, то 
1

F
F
. 
Из 1) и 2) следует, что 
1

F
F
. Тем самым установлено, что 
E
 — 

-
расслоенный класс Фиттинга с 

-
спутником 
f
, описанным в условии теоремы, и направлением 

для любой 
FR
-функции 

. Теорема доказана. 
Теорема 2.3. 
Пусть 
1


F
E

, 
( , )
R f

F


, где 

—
произвольная FR -функция, f — R

-функция такая, 
что 
( )
f

 
E


 и для любого 
A


 выполняется 
( )
f A

. Тогда 
1

F
F
. 
Доказательство. 1) Покажем, что 
1

F
F.
Пусть 
1
.
G

F
Так как 
1
( )
f




F
E


и ( )
f


— класс Фиттинга, то 
( )
( )
O G
f




. Покажем, что для любого 
( )
A K G



справедливо 
( )
( )
A
G
f A


. Действительно, так как 
( )
A K G



, то 
A


и, значит, ( )
f A

. Поскольку 
G


E

, то ( )
K G
 

. Следовательно, утверждение о том, 
что 
( )
( )
A
G
f A


для любого 
( )
A K G



, верно. Таким образом, 
G

F
и 
1

F
F.
 
2) Покажем, что 
1

F
F
. Пусть 
G

F
. Проверим, что 
1
G

F
. Так как 
G

F
, то 
( )
( )
A
G
f A


(а) для любого 
( )
A K G



. С другой стороны, для любого
( )
A K G



по заданию функции 
f
выполняется ( )
f A

 
(б). Из (а) и 
(б) следует, что ( )
K G
 

и, значит, 
G


E

. Следовательно, 
1
.
G

F
Таким образом, 
1

F
F
. 
Из 1) и 2) получаем, что 
1
F = F.
Тем самым установлено, что 

E

— 

-
расслоенный класс Фиттинга с 

-
спутником 
f
, описанным в условии теоремы, и любым направлением 

. Теорема доказана. 
Теорема 2.4. 
Пусть 
1
p

F
N
, 
p


, 
( , )
R f

F


, где 

 — 
p
Z
b
—
 
направление 

-расслоенного класса 
Фиттинга, 
f

 
R

-функция такая, что 
( )
p
f
 
N

и для любого 
A


выполняется
(1),
( )
,
\ ( )
p
p
если A Z
f A
если A
Z



 



. 
Тогда 
1
F = F.
 
Доказательство. 1) Покажем, что 
1

F
F.
Пусть 
1
G

F
. Так как 
1
( )
p
f



F
N

, 
то
 
( )
( )
O G
f




.
 
Пусть
( )
A
K G
 

. 
Установим, что
 
( )
( )
A
G
f A


.
 
Поскольку 
( )
A
K G
 

и 
p
G

N
, 
то 
( ).
p
A
Z

 
Отсюда следует, что
 
( )
( ) (1).
p
f A
f Z


Поэтому достаточно показать, что
 
( )
1
A
G


.
 
Действительно, так как 
p
G

N
и 
( )
( )
p
p
p
p
Z
Z


N
N


, то 
( )
p
G
Z


.
 
Отсюда следует, что
 
( )
1
( )
A
p
G
f Z
 

.
 
Таким образом
, 
G

F
 
и 
1

F
F
.
 
2) Покажем, что
 
1

F
F
.
 
Пусть 
.
G

F
Тогда 
( )
( )
p
O G
f



N


и для любого 
( )
A
K G
 

справедливо 
( )
( )
A
G
f A


.
 
Согласно заданию 
f
,
 
для любого
 
( )
A
K G
 

справедливо
( )
p
А
Z

.
 
Таким образом, 
/
( )
p
G O G

N

и 
( )
p
O G

N

.
 
Отсюда следует, что 
p
G

N
и, значит,
 
1

F
F
. 
Из 1) и 2) следует, что
 
1

F
F
. 
Тем самым установлено, что 
p
N
— 

-
расслоенный класс Фиттинга с 

-
спутником 
f
, описанным в условии теоремы, и любым 
p
Z
b
-
направлением 

. Теорема доказана. 
Теорема 2.5. 
Пусть 
 


, 
1

F
E

, 
(
( )
)
A
A





 

, 
( , )
R f

F


, 
где 

— 
произвольная FR -
функция, f — R

-функция такая, что
( )
f
 
E


 и для любого 
A


справедливо

,
( )
,
\
если A
f A
если A

 

E




 
. 
Тогда 
1
F = F.
 
Доказательство. 1) Покажем, что 
1

F
F.
 
Пусть 
1
.
G

F
Тогда 
( )
p
G
f



N

, 
то
 
( )
( )
O G
f




.
 
Пусть
( )
A
K G
 

. Покажем, что
 
( )
( )
A
G
f A


. Так как 
1
( )
G
f

 

F
E


, 
то 
( )
( )
O G
f




. 
Пусть 
( )
A
K G
 

. 
Пока-
жем, что 
( )
( )
A
G
f A


.
 
Так как 
( )
A
K G
 

и 
,
G

E

 
то 
A



.
 
Отсюда следует, что
 
( )
f A

E

по условию теоремы.
 
Поскольку 
G

E

, 
то 
( )
( )
A
G
f A


E


.
 
Таким образом, 
G

F
, и поэтому 
1

F
F.
 
2) Покажем, что 
1

F
F
.
 
Пусть 
G

F
. Тогда 
( )
( )
O G
f



E



 
и
 
для любого 
( )
A
K G
 

справедливо 
( )
( )
A
G
f A


. 
По заданию
f
для любого 
( )
A
K G
 

 
выполняется 
A



.
 
Отсюда следует, что 
( )
K G





.
 
Из 
( /
( ))
( )
K G O G
K G
 




следует, что
 
/
( )
G O G

E


.
 
Поэтому 
G

E

.
 
Так как 
G

E

, 
то 
1

F
F
. 
Из
 
1) и 2) следует, что
 
1
.

F
F
 
Тем самым установлено, что 
E

—

-
расслоенный класс Фиттинга с 

-
спутником 
f
, описанным в условии теоремы, и любым направлением 

. Теорема доказана. 

---

“Young Scientist”