Moluch 251 c indd

2. 

-расслоенные классы Фиттинга конечных групп 
 
Из 1) и 2) получаем, что 
1
F = F
. Тем самым установлено, что класс 
E
всех конечных групп является 

-
расслоенной 
формацией с 

-
спутником 
f
, описанным в условии теоремы, и любым направлением 

. Теорема доказана. 
Теорема 1.3. 
Пусть 
1


F
E

, 
( , )
F f

F


, где 

 

произвольная FR -функция, f — 
F

-функция такая, 
что 
( )
f

 
E


 и для любого 
A


 выполняется 
( )
f A

. Тогда 
1

F
F
. 
Доказательство. 1) Покажем, что 
1

F
F
. Пусть 
1
G

F
. Так как 
1


F
E

 — 
формация, то /
( )
( )
G O G
f




E



. 
Покажем, что для любого 
( )
A K G



справедливо 
( )
/
( ).
A
G G
f A


Действительно, так как 
G


E

, то 
( )
K G
 

. Это означает, что не существует таких 
( )
A K G



, для которых 
( )
/
( )
A
G G
f A


. Поэтому утвержде-
ние о том, что 
( )
/
( )
A
G G
f A


для любого 
( )
A K G



, верно. Таким образом, 
G

F
и 
1

F
F
.
 
2) Покажем, что 
1

F
F
. Пусть 
G

F
. Тогда 
( )
/
( )
A
G G
f A


(а) для любого 
( )
A K G



. Далее, для любого
( )
A K G



по заданию функции 
f
выполняется ( )
f A

 
(б). Таким образом, утверждения (а) и (б) выполняются од-
новременно. Это возможно в единственном случае, когда ( )
K G
 

. Следовательно, 
1
G



E
F

. Таким образом, 
1

F
F
. 
Из 1) и 2) получаем, что 
1

F
F
. Тем самым установлено, что класс 

E

всех конечных 


-
групп является 

-
расслоенной формацией с 

-
спутником 
f
, описанным в условии теоремы, и любым направлением 

. Теорема доказана. 
Теорема 1.4.
 Пусть 
p


, 
1
p

F
N
, 
( , )
F f

F


, где 

 — 
p
Z
b
-направление, f — 
F

-функция такая, что 
( )
p
f
 
N

 и для любого 
A


 выполняется
(1),
( )
( )
,
\ ( )
p
p
если A
Z
f A
если A
Z








. Тогда 
1

F
F
. 
Доказательство. 1) Покажем, что 
1

F
F
. Пусть 
1
G

F
. Так как 
1
p

F
N
, то по заданию функции 
f
имеем 
/
( )
( )
G O G
f




. Для любого 
( )
A K G



из того, что 
p
G

N
, следует, что 
( ).
p
A
Z

Тогда по условию теоремы 
( )
( ) (1)
p
f A
f Z


. Следовательно, достаточно показать, что 
( )
/
1
A
G G


. Действительно, так как 
p
G

N
и 

 — 
p
Z
b
-
направление, то 
( )
( )
p
p
p
p
Z
Z


N
N


. Поэтому 
( )
( )
p
G
Z
A




и 
( )
A
G G


. Это означает, что 
( )
/
1
( )
A
G G
f A
 

. Таким образом, 
G

F
и 
1

F
F
. 
2)
 
Покажем, что 
1

F
F
. Пусть 
G

F
. Тогда 
/
( )
( )
p
G O G
f



N


. Поскольку 
G

F
, то для любого 
( )
A K G



справедливо 
( )
/
( )
A
G G
f A


. Следовательно, по заданию функции 
f
для любого 
( )
A K G



выпол-
няется 
( )
p
A
Z

. Поэтому ( ( ))
( )
( )
p
K O G
K G
Z

 


, откуда 
( )
p
O G
G
 
N

. Тогда 
.
p
G

N
Таким образом, 
1
G

F
и 
1

F
F
. 
Из 1) и 2) получаем, что 
1

F
F
. Поэтому класс 
p
N
всех конечных 
p
-
групп является 

-
расслоенной формацией с 

-
спутником 
f
, описанным в условии теоремы, и любым 
p
Z
b
-
направлением 

. Теорема доказана. 
Теорема 1.5.
Пусть 
 


, 
1

F
E

, 
(
| ( )
)
A
A





 

, 
( , )
F f

F


, где 

– 
произвольная FR -
функция, f — 
F

-функция такая, что 
( )
f
 
E


 и для любого 
A


 выполняется
,
( )
,
\
если A
f A
если A







E




 
. 
Тогда 
1

F
F
. 
Доказательство. 1) Покажем, что 
1

F
F
. Пусть 
1
G

F
. Так как 
1
( )
f



F
E


, то /
( )
( )
G O G
f




. Для любого 
( )
A K G



из 
G

E

следует, что ( )
.
A



Поэтому 
A



и, значит, ( )
f A

E

. Тогда 
( )
/
( )
A
G G
f A


E


. Та-
ким образом, 
G

F
и 
1

F
F
. 
2) Покажем, что 
1

F
F
. Пусть 
G

F
. Тогда 
/
( )
( )
G O G
f



E



и для любого 
( )
A K G



справедливо 
( )
/
( )
A
G G
f A


. Следовательно, по заданию функции 
f
для любого 
( )
A K G



выполняется 
A



. Так как 
( ( ))
( )
K O G
K G

 


 
, то 
( )
O G

E


. Поэтому 
1
G


E
F

и, значит, 
1

F
F
. 
Из 1) и 2) получаем, что 
1

F
F
. Таким образом, класс 
E

всех конечных 

-
групп является 

-
расслоенной фор-
мацией с 

-
спутником 
f
, описанным в условии теоремы, и любым направлением 

. Теорема доказана. 
2. 

-расслоенные классы Фиттинга конечных групп 
 
Из 1) и 2) получаем, что 
1
F = F
. Тем самым установлено, что класс 
E
всех конечных групп является 

-
расслоенной 
формацией с 

-
спутником 
f
, описанным в условии теоремы, и любым направлением 

. Теорема доказана. 
Теорема 1.3. 
Пусть 
1


F
E

, 
( , )
F f

F


, где 

 

произвольная FR -функция, f — 
F

-функция такая, 
что 
( )
f

 
E


 и для любого 
A


 выполняется 
( )
f A

. Тогда 
1

F
F
. 
Доказательство. 1) Покажем, что 
1

F
F
. Пусть 
1
G

F
. Так как 
1


F
E

 — 
формация, то /
( )
( )
G O G
f




E



. 
Покажем, что для любого 
( )
A K G



справедливо 
( )
/
( ).
A
G G
f A


Действительно, так как 
G


E

, то 
( )
K G
 

. Это означает, что не существует таких 
( )
A K G



, для которых 
( )
/
( )
A
G G
f A


. Поэтому утвержде-
ние о том, что 
( )
/
( )
A
G G
f A


для любого 
( )
A K G



, верно. Таким образом, 
G

F
и 
1

F
F
.
 
2) Покажем, что 
1

F
F
. Пусть 
G

F
. Тогда 
( )
/
( )
A
G G
f A


(а) для любого 
( )
A K G



. Далее, для любого
( )
A K G



по заданию функции 
f
выполняется ( )
f A

 
(б). Таким образом, утверждения (а) и (б) выполняются од-
новременно. Это возможно в единственном случае, когда ( )
K G
 

. Следовательно, 
1
G



E
F

. Таким образом, 
1

F
F
. 
Из 1) и 2) получаем, что 
1

F
F
. Тем самым установлено, что класс 

E

всех конечных 


-
групп является 

-
расслоенной формацией с 

-
спутником 
f
, описанным в условии теоремы, и любым направлением 

. Теорема доказана. 
Теорема 1.4.
 Пусть 
p


, 
1
p

F
N
, 
( , )
F f

F


, где 

 — 
p
Z
b
-направление, f — 
F

-функция такая, что 
( )
p
f
 
N

 и для любого 
A


 выполняется
(1),
( )
( )
,
\ ( )
p
p
если A
Z
f A
если A
Z








. Тогда 
1

F
F
. 
Доказательство. 1) Покажем, что 
1

F
F
. Пусть 
1
G

F
. Так как 
1
p

F
N
, то по заданию функции 
f
имеем 
/
( )
( )
G O G
f




. Для любого 
( )
A K G



из того, что 
p
G

N
, следует, что 
( ).
p
A
Z

Тогда по условию теоремы 
( )
( ) (1)
p
f A
f Z


. Следовательно, достаточно показать, что 
( )
/
1
A
G G


. Действительно, так как 
p
G

N
и 

 — 
p
Z
b
-
направление, то 
( )
( )
p
p
p
p
Z
Z


N
N


. Поэтому 
( )
( )
p
G
Z
A




и 
( )
A
G G


. Это означает, что 
( )
/
1
( )
A
G G
f A
 

. Таким образом, 
G

F
и 
1

F
F
. 
2)
 
Покажем, что 
1

F
F
. Пусть 
G

F
. Тогда 
/
( )
( )
p
G O G
f



N


. Поскольку 
G

F
, то для любого 
( )
A K G



справедливо 
( )
/
( )
A
G G
f A


. Следовательно, по заданию функции 
f
для любого 
( )
A K G



выпол-
няется 
( )
p
A
Z

. Поэтому ( ( ))
( )
( )
p
K O G
K G
Z

 


, откуда 
( )
p
O G
G
 
N

. Тогда 
.
p
G

N
Таким образом, 
1
G

F
и 
1

F
F
. 
Из 1) и 2) получаем, что 
1

F
F
. Поэтому класс 
p
N
всех конечных 
p
-
групп является 

-
расслоенной формацией с 

-
спутником 
f
, описанным в условии теоремы, и любым 
p
Z
b
-
направлением 

. Теорема доказана. 
Теорема 1.5.
Пусть 
 


, 
1

F
E

, 
(
| ( )
)
A
A





 

, 
( , )
F f

F


, где 

– 
произвольная FR -
функция, f — 
F

-функция такая, что 
( )
f
 
E


 и для любого 
A


 выполняется
,
( )
,
\
если A
f A
если A







E




 
. 
Тогда 
1

F
F
. 
Доказательство. 1) Покажем, что 
1

F
F
. Пусть 
1
G

F
. Так как 
1
( )
f



F
E


, то /
( )
( )
G O G
f




. Для любого 
( )
A K G



из 
G

E

следует, что ( )
.
A



Поэтому 
A



и, значит, ( )
f A

E

. Тогда 
( )
/
( )
A
G G
f A


E


. Та-
ким образом, 
G

F
и 
1

F
F
. 
2) Покажем, что 
1

F
F
. Пусть 
G

F
. Тогда 
/
( )
( )
G O G
f



E



и для любого 
( )
A K G



справедливо 
( )
/
( )
A
G G
f A


. Следовательно, по заданию функции 
f
для любого 
( )
A K G



выполняется 
A



. Так как 
( ( ))
( )
K O G
K G

 


 
, то 
( )
O G

E


. Поэтому 
1
G


E
F

и, значит, 
1

F
F
. 
Из 1) и 2) получаем, что 
1

F
F
. Таким образом, класс 
E

всех конечных 

-
групп является 

-
расслоенной фор-
мацией с 

-
спутником 
f
, описанным в условии теоремы, и любым направлением 

. Теорема доказана.