Moluch 114 c indd

y_i (x)  m(x_i )  ,
где m – неизвестная функция регрессии, а  — ошибки наблюдения.
(1)

Цель регрессионного анализа состоит в осуществлении разумной аппроксимации неизвестной функции отклика m . За счет уменьшения ошибок наблюдения становится возможным сконцентрировать внимание на важных деталях средней зависимости y от x при ее интерпретации. Эта процедура аппроксимации обычно называется
«сглаживанием».
Главным вопросом, возникающим при построении непараметрической оценки, является степень сглаживания, которая определяется параметром сглаживания. Этот параметр управляет размером окрестности точки x . Локальное усреднение по слишком большой окрестности не приводит к хорошим результатам. В этом случае происходит
«чрезмерное сглаживание» кривой, приводящее к смещению оценки m_n . Если определить параметр сглаживания так, что он будет соответствовать слишком малой окрестности, то в оценку регрессии будет вносить лишь небольшое количество точек, и мы получим грубое приближение.
Представим, что имеется процесс, общая схема которого изображена на рисунке 1.



Рис. 1. Общая схема процесса, принятая в теории идентификации: А — неизвестный оператор объекта;
y(t) (x)  R¹ — выходная переменная процесса; x(t) (u)  R^m — векторное управляющее воздействие;
 (t) — векторное случайное воздействие; (t) — непрерывное время; ^{xt , yt} — означают измерения ^x(t) , ^{y(t)
в дискретное время; n — объем выборки;} H ^{x ,} H ^{y — каналы связи, соответствующие различным переменным;}
h^x (t) ^, h ^y (t) ^{— случайные помехи измерений соответствующих переменных процесса}

На вход объекта подается контролируемое воздействие x(t) , затем с помощью некоторого оператора

преобразования получаем выходную переменную
^{y(t) . Контроль переменных}  ^{y, x}
осуществляется через интервал

времени t
через каналы связи
H ^x и
H ^y , то есть


y_i , x_i , i  1, n

• 
  выборка измерений переменных процесса
  

( y₁ , x₁ ), ( y₂ , x₂ ),, ( y_s , x_s ),. Случайные воздействия могут наблюдаться как в каналах связи, так и воздействовать на сам объект, поэтому аномальные измерения могут быть обнаружены, как при измерении входных, так и выходных данных. Таким образом, при исследовании объекта мы располагаем текущей информацией в виде выборки измерений
{x_i , y_i , i  1, n} , а также априорной информации о нем. В дальнейшем будем считать, что имеется объект с аддитивным шумом, помехи в каналах связи отсутствуют.

Пусть даны наблюдения {y_i , x_i , i  n}
случайных величин y , x распределенных с неизвестными плотностями

вероятности