Множества N,Z,Q,R

Следствия

Доказательство следствия

Следствия из второго замечательного предела:

Замечательный логарифмический предел

Доказательство предела

Замечательный показательный предел

Следствия
для ,
Доказательство предела

Доказательство следствия

Замечательный степенной предел

Доказательство предела

38. 
    Функция, ограниченная на данном множестве.
    

функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D если существует числа m и M такие что выполняется неравентсво:
m<=f(x)<=M, для всех x принадлеж D.

39. 
    Св-ва функций имеющих предел.
    

• 
  Если ф-ция имеет предел при х→а, то этот предел единственен.
  
• 
  Если ф-ция имеет предел b при х→а, то она ограничена в некоторой окрестности точки а.
  
• 
  Если ф-ция имеет предел b при х→а, а число b>0 (либо b<0), то существует окрестность точки а, в которой f(x)>0 (либо f(x)<0).
  
• 
  Если в некоторой окрестности точки а ф-ции f(x), g(x) удовлетворяют неравенству f(x)≤g(x) и имеют пределы при х→а, то и их пределы удовлетворяют неравенству lim _х→аf(x)≤ lim _х→аg(x).
  
• 
  Если в некоторой окрестности точки а ф-ции f(x), g(x), h(x) удовлетворяют неравенству f(x)≤g(x)≤h(x), ф-ции f(x), h(x) имеют пределы при х→а, и этот предел тоже равен числу b.
  

40. 
    Бесконечно-малые функции и их свойства: сумма бесконечно малых функций, произведение б.м. функции на ограниченную.
    

Функция f(x)называется бесконечно малой в точке а, если lim_x→af(x)=0.
Свойства бесконечно малых функций:

1. 
   Сумма бесконечно малых в точке функций является бесконечно малой в этой точке функцией.
   
2. 
   Произведение бесконечно малой в точке а функции на функцию, локально ограниченную в этой точке, есть бесконечно малая в точке а функция.
   

Док-во: 1. Пусть функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми в точке а, т.е. lim_x→af(x)=0 и lim_x→ag(x)=0. Тогда для данного ε>0 найдутся δ₁>0, δ₂>0, такие что |f(x)|<ε/2, если 0<|x-a|< δ₁ , и |g(x)|<ε/2, если 0<|x-a|< δ₂ . Но отсюда из неравенства треугольника для абсолютной величины следует, что |f(x)+g(x)| ≤ |f(x)|+|g(x)| < ε/2+ ε/2 = ε, если 0<|x-a|<δ, где δ=min{δ₁, δ₂}.
2. Пусть ф-ция f(x) является бесконечно малой в точке а, а ф-ция g(x) является ограниченной в некоторой окрестности Oσ(a), т.е. все значения g(x) в этой окрестности ограничены по абсолютной величине, например М, |g(x)| ≤ M, xє Oσ(a). Для данного є>0 найдём δ>0, такое, что |f(x)|<ε/М, если 0<|x-a|<δ. Можно считать что δ≤σ. Тогда |f(x)g(x)| = |f(x)||g(x)|<ε/М*M = ε, если 0<|x-a|<δ.

41.