Mirzo ulug’bek nomidagi o’zbekiston milliy universiteti jizzax filiali amaliy matematika fakulteti tabiiy va iqtisodiyot fanlar kafedrasi iqtisod yo’nalishi 928-21-guruh talabasi yaxshibayev abdulazizning oliy matematika (MA’ruza)

Vektorlarning chiziqli bog’liqligi.
Ta’rif. Ixtiyoriy vektorlar sistemasi va haqiqiy sonlar berilgan bo’lsin.

vektorni berilgan vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi deyiladi. Bunda vektor vektorlar sistemasi orqali chiziqli ifodalangan deyiladi, sonlar chiziqli kombinatsiya koeffitsentlari deyiladi.
12-ta’rif. Ixtiyoriy va vektorlarning, haqiqiy sonlar bilan berilgan chiziqli kombinatsiyasi
(3.3)
koeffitsentlarning kamida bittasi noldan farqli bo’lganda (3.3) bajarilsa , u holda va vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq deyiladi.
Agar (3.3) tenglik sonlarning hammasi nolga teng bo’lgandagina o’rinli bo’lsa, va vektorlar sistemasi chiziqli erkli deyiladi.¹
1.2-teorema. Agar (3.1) vektorlar sistemasining biror vektori nol vektor bo’lsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik bo’lsin, u holda , sonlar uchun munosabat o’rinli bo’ladi. Demak, ta’rifga asosan (3.1) vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq.
Quyidagi teoremalarni talabalar o’zlari isbotlasin.
1.2-teorema. Agar (3.1) vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq bo’lsa, sistemaning kamida bitta vektori uning qolgan vektorlari orqali chiziqli ifodalanadi.
1.3-teorema. Ikkita vektor chiziqli bog’liq bo’lishi uchun ularning kollinear bo’lishi zarur va etarli.
1.4-teorema. Uchta vektor chiziqli bog’liq bo’lishi uchun ularning komplanar bo’lishi zarur va etarli.
Tekislikdagi affin koordinatalar sistemasi
Tekislikda O nuqtaga qo’yilgan ikkita bazis vektorlar berilgan bo’lsin (16-chizma). Bu vektorlar orqali o’tuvchi va to’g’ri chiziqlarni olamiz ( ).
1 - Ta’rif. Musbat yo’nalishlari mos ravishda vektorlar bilan aniqlanuvchi va to’g’ri chiziqlardan iborat bo’lgan sistema tekislikdagi affin koordinatalar sistemasi deyiladi va 0, yoki
(0, ) ko’rinishda belgilanadi. 0 nuqta koordinatalar boshi vektorlarni koordinat vektorlar deyiladi; to’g’ri chiziqni Ox bilan belgilab absissalar o’qi, to’g’ri chiziqni esa Oy bilan belgilab ordinatalar o’qi deb ataladi.
Tekislikda (0, ) affin koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin. Shu tekislikda birorta N nuqtani olaylik (2- chizma ) vektorni N nuqtaning radius vektori deyiladi.
vektorni hamma vaqt bazis
vektorlari buyicha yoyib yozish mumkin:

(8.1 )
sonlar radius vektorning koordinatalari deyiladi va kabi yoziladi.
Radius vektorning koordinatalari N nuqtaning ham koordinatalari deyiladi va uni N( ) kabi belgilaymiz. Bunda soni N nuqtaning absissasi yoki birinchi koordinatasi, son esa N nuqtaning ordinatasi yoki ikkinchi koordinatasi deyiladi.
Xullas, tekislikda affin koordinatalar sistemasi berilsa, istalgan N nuqtaga uning koordinatalari bo’lmish bir juft sonlar mos keladi, aksincha, ma’lum tartibda olingan sonlariga, koordinatalari shu sonlardan iborat bitta N nuqta mos keladi.
Haqiqatan, tekislikda (0, ) affin koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin (17-chizma) absissalar o’qiga O nuqtadan boshlab vektorni, ordinatalar o’qiga esa vektorlarni qo’yib, N₁ va N₂ nuqtalardan Oy va Ox o’qlarga parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazamiz, ularning kesishgan nuqtasi izlanayotgan N nuqta bo’ladi, chunki
Shunday qilib, (0, ) ga nisbatan

Agar =0 bo’lsa
Agar =0 bo’lsa , ya’ni o’qida yotadi.
Shunday qilib, absissa o’qida yotgan nuqta koordinatalari ( , 0) va ordinata o’qida yotgan nuqtaning koordinatalari (0, ) bo’ladi. Koordinatalar boshining koordinatalari O(0, 0) bo’ladi.
Koordinat o’qlari tekislikni to’rtta qismga ajratadi. Har bir qismni chorak deyiladi.