Mirzo Ulug’bek nomidagi O’zbekiston Milliy Universiteti Jizzax filiali “Amaliy matematika” fakulteti

1-misol. Bir nuqtadan chiquvchi yorug`lik nurlari reflektor ko`zgusidan qaytib, boshqa bir nuqtada kesishishi uchun reflektor ko`zgusini qanday aylanish sirti bo`yicha silliqlash kerak?

Ye ch i l i sh i. Masala izlanayotgan sirtning yorug`lik manbai joylashgan F<sub>1</sub> nuqta va qaytgan nurlar kesishadigan F<sub>2</sub> nuqta orqali o`tadigan meridian tekislik bilan kesilishidan hosil bo`lgan kesimning tenglamasini topishga keltirilishi ravshandir. MQ –bu kesimning kesik yoyi bo`lsin. Uni to`g`ri chiziq kesmasa deb hisoblab hamda F₁ va F₂ nuqtalarni markaz qilib F₁M=r₁ va F₂M=r₂ radiusli aylanalarning MN va MP yoylarini chizamiz. Bu yoylarni ham to`g`ri chiziq kesmalari deb hisoblaymiz. MQNvaMQP uchburchaklar umumiy MQ gipotenuzaga ega bo`lib, tug`ri burchaklidirlar (<MNQ vatug`ri burchaklar). Optikadagi tushush va qaytish burchaklarining tengligi ma`lum teoremadan va vertical burchakalar, tengligi xossasidan foydalanib, <MNQ =ekanligini topamiz, binobarin uchburchaklar o`zaro teng ekan. Bu yerdan QN=QP ekanligi kelib chiqadi, biroq ON=-∆r<sub>1</sub>, QP= ∆r<sub>2</sub> bo`lganligi uchun r₁ va r₂ radius vektorlarning orttirmalarini ularning differensiallari bilan almashtirib topamiz:

dr₁₊dr₂=0 bundan d ni chaiqarib olamiz shunda un integrallab olamiz:

r₁+r₂=C Shunday qilib izlanayotgan sirtning meridian tekislik bilan kesimi ellips ekan.Demak, reflektor ko’zgusini aylanish ellipsoidi bo’yicha silliqlash kerak ekan.

Bu masalani quyidagicha o`zgartiramiz. F1nuqtadan chiqayotgan nurlar qaytgandan sung parallel bo’lsinlar deb faraz qilaylik.

Koordinatalar sistemasini shunday tanlab olamizki, yorug`lik manbai koordinatalar boshida joylashsin, qaytgan nurlar esa Ox o`qqa parallel bo`lsin (1- rasm). MN—kesimning kichik yoyi bo’lsin, uni ilgarigidek, tug`ri chiziq kesmasi deb hisoblaymiz.O ni markaz qilib, ON=OM+MQ radius aylananing NQ yoyini o`tkazamiz. Bu yoyni ham to`g`ri chiziq kesmasa deb hisoblaymiz. Absissalari x va x+dx bo`lgan M va N nuqtalardan Ox o`qqa MA va NBperpendikulyarlar tushiramiz, bundan tashqari M nuqtadan BN ga u bilan P nuqtada kesishadigan perpendikulyar to`g`ri burchaklidir (MPN—to`g`ri burchaklar). Bu uchburchaklar o`zaro teng, chunki ularning bittadan o`tkir burchaklari teng: <QMN=
bu tushishva qaytish burchaklarining tengligidan hamda vertikal burchaklarning tengligidan kelib chiqadi. Shu sababli MQ=MP va MQ=dr (Δrorttirmani dr differensial bilan almashtirdik) hamda MR=dx bo`lganligidan differensial tenglama

dr=dx ko`rinishga ega bo`ladi. Umumiy integralni integrallash bilan topamiz.

r=x+C yoki r ni bilan almashtirsak, =x+C

Agar tenglamaning har ikkala tomonini kvadratga oshirsak, y²=2Cx+C²ni hosil qilamiz, bu kesim parabola ekanini ko`rsatadi