Мирзаев жасурбек исраилович

Выводы ко второй главе
На основе проведенного исследования можно сделать следующие заключения:

1. 
   Показано, что уровни Ферми наноразмерного полупроводника в квантующем магнитном поле квантована.
   
2. 
   Предложен метод расчета осцилляции энергии Ферми для двумерного электронного газа при разных магнитных полях и температурах.
   
3. 
   Получено аналитического выражения для вычисления функции распределения Ферми-Дирака при высоких температурах и слабых магнитных полях
   
4. 
   С помощью предложенной формулы исследованы экспериментальные результаты в наноразмерных полупроводниковых структурах. Использую формулу (2.18), объяснены осцилляции энергии Ферми для двумерные электронные газы в квантовых ямах (квантовые ямы, в основном гетероструктуры GaAs/GaAlAs) с параболическим законом дисперсии.
   

Рис 2.6. Осцилляции энергии Ферми при измерении m=0,0665m0, N=8^.10¹¹ см², Г=0,5мэВ и T=6 К для двумерные электронные газы в квантовых ямах (квантовые ямы, в основном гетероструктуры GaAs/GaAlAs). 1-эксперимент [71;С.247-262]; 2-теория, вычисленная по формуле (2.18)

ГЛАВА III. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ОСЦИЛЛЯЦИИ ПЛОТНОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ В НАНОРАЗМЕРНЫХ ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПРОДОЛЬНОГО И ПОПЕРЕЧНОГО КВАНТУЮЩЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ
В настоящее время интерес прикладных и фундаментальных исследований в области физики конденсированных средств сместился с массивных материалов на наноразмерные полупроводниковые структуры. Особый интерес вызывают свойства энергетического спектра носителей зарядов в низкоразмерных полупроводниковых структурах при воздействии квантующего магнитного поля. Квантование энергетических уровней свободных электронов и дырок в квантующем магнитном поле приводит к существенному изменению вида осцилляции плотности энергетических состояний в двумерных полупроводниковых структурах.
Таким образом, в данной главе исследовались влияние температуры и толщины квантовой ямы на осцилляции плотности энергетических состояний в зоне проводимости наноразмерных полупроводниковых структурах. Разработана новая математическая модель для вычисления температурной зависимости осцилляции плотности состояний в прямоугольной квантовой яме, при воздействии поперечного квантующего магнитного поля. С помощью предложенной модели, объяснились экспериментальные результаты, при различных температурах и магнитных полях.

3.1-§. Вычисление осцилляции плотности энергетический состояний в гетеронаноструктурных материалах при наличии продольного и поперечного сильного магнитного поля

В двумерных полупроводниковых материалах, изучение зависимости плотности энергетических состояний от величины квантующего магнитного поля и заполнения, позволяет получить ценную информацию о энергетических спектрах носителей зарядов наноразмерных полупроводниковых структур. При продольном и поперечном воздействии квантующих магнитных полей, в низкоразмерных полупроводниковых материалах, плотность состояний измерялась по осциллирующим зависимостям кинетических, динамических и термодинамических величин – магнетосопротивление, магнитная восприимчивость, электронная теплоемкость, термоэдс, энергии Ферми и другие физические параметры.
Из этого следует, что исследование осцилляций плотности энергетических состояний в зоне проводимости прямоугольной квантовой ямы, при наличии поперечного и продольного магнитного поля, является одной из актуальных задач современной физики твёрдого тела.
В частности, в работах [75; pp.1305–1323. 76; C.53–81. 77; pp.193304-1- 193304-4. 78; pp.13001-1 - 13001-10. 79; pp.1581–1585. 80; pp.033907-1-033907-5. 81; pp.188-193] рассмотрены расчеты плотности состояний уровней Ландау, в двумерных электронных газах, при однородном перпендикулярном магнитном поле и при случайном поле произвольной корреляции. Разработан полуклассический непертурбативный подход интегралов по траекториям, для случайного поля произвольной корреляции и эта обеспечивает аналитическое решение для плотности состояний уровней Ландау. Отклонение плотности состояний от гауссовой формы увеличивается при уменьшении длины корреляции и ослаблении магнитного поля [75; pp.1305–1323. 76; C.53–81. 77; pp.193304-1- 193304-4.]
Несмотря на достигнутые успехи в этих работах, в них, все еще остаются открытыми некоторые вопросы. Такие как: зависимость плотности состояний от температуры и от квантующего магнитного поля в двумерных полупроводниковых материалах, и как определить температурную зависимость плотности состояний в поперечном и продольном квантующим магнитном поле в материалах пониженной размерности с учетом термических размытий.
Целью настоящего параграфа является вычисление влияния продольного и поперечного квантующего магнитного поля на осцилляции плотности состояний в двумерных электронных газах.
Согласно зонной теории твердого тела, волновая функция свободного электрона, при наличии внешнего поля, являются решением стационарного уравнения Шредингера с параболическим законом дисперсии [82; C.248-257. 83; C.20-25. 84; C.23-30. 85; C.15-27. 86; C.33-43. 87; C.71-80]:
(3.1)
Здесь, V(r) – энергия свободных электронов при наличии внешнего поля, Е – энергия носителей заряда при отсутствии внешнего поля, - волновая функции. Зависимость квантующего магнитного поля от волновой функции электронов и энергетических спектров носителей зарядов в двумерных электронных газах определяется с помощью уравнения (3.1), в котором оператор импульса следует заменить на оператор обобщенного импульса в квантующем магнитном поле:
(3.2)
Здесь, - векторный потенциал индукции сильного магнитного поля, . Для решения уравнения (3.2) направление вектора B выбирается двумя разными способами. В первом случае этот вектор будет направлен вдоль плоскости двумерного слоя (по оси X) и перпендикулярно оси Z. Для продольного квантующего магнитного поля, векторный потенциал А можно выбрать в виде _. из уравнения Шредингера (3.2), для глубокой прямоугольной квантовый ямы, принимает следующий вид:
(3.3)
Тогда его можно решить методом разделения переменных, с помошью функции из [86; C.33-43]:

Это функция описывает локализованное движение в плоскости YZ и состояние движения свободного электрона по оси X. В уравнении (3.3), функция отвечает за локализованное движение. Тогда решение уравнения (3.3) будет следующим:

(3.4)
Здесь, . Уравнение (3.4) называется уравнение квантового гармонического осциллятора, движение которого дополнительно ограничено квантовой ямой, а E_n – представляет собой дискретный уровни.
В квантующем магнитном поле, если ширина квантовой ямы увеличиться - энергетический спектр свободных электронов будет возрастать. То есть, . Здесь, а – ширина квантовой ямы,  - магнитная длина, равная по величине радиусу характерной орбиты электрона в квантующем магнитном поле. Отсюда, дискретные энергетические уровни E_n будут равны энергиям гармонического квантового осциллятора:
(3.5)
Согласно уравнению (3.2), скорость и импульс носителей заряда в направлении квантующего магнитного поля может принимать любые значения. Иными словами, движения свободных электронов и дырок в направлении плоскости XY (то есть, по оси Х) не квантовано. Отсюда, полная энергии свободных электронов в двумерных электронных газах при присутствии магнитного поля, направленной по оси Х определяется следующем выражении:
(3.6)
Где, - энергия движения свободного электрона в плоскости YZ, эти энергии носят название дискретных уровней Ландау. -энергия непрерывного движения по оси X. Таким образом, при присутствии продольного магнитного поля, из-за квантования орбитального движения носителей зарядов в плоскости YZ, разрешённая энергетическая зона расщепляется на одномерные магнитные подзоны, то есть, на дискретные уровни Ландау.
В трёхмерных и двумерных электронных газах изменение энергетического спектра носителей заряда приводит к изменению осцилляции плотности состояний в квантующем магнитном поле. В работах [88; C.27-43. 89; C.68-85] выведено аналитическое выражение осцилляции плотности состояний в трёхмерных электронных газах при присутствии квантующего магнитного поля с непараболическим законом дисперсии. Там обсуждалось температурная зависимость осцилляции плотности энергетический состояний с поперечным сильным магнитном полем.
Теперь, сначала вычислим осцилляции плотности энергетический состояний в двумерных электронных газах при наличии продольного сильного магнитного поля. Когда ширина квантовой ямы становиться сравнимой с длиной волны де Бройля, в двумерных полупроводниковых материалах, то происходит квантование. То есть, и Отсюда, в плоскости YZ циклотронная масса вычисляется выражением
(3.7)
Для параболического закона дисперсии циклотронная эффективная масса будет постоянна. Энергия в интервале между двумя уровнями Ландау равно . Отсюда, для двумерного полупроводникового материала найдем разность длины сечения двух изоэнергетических поверхностей:
(3.8)
Число состояний для квантования, при присутствии продольного квантующего магнитного поля, в плоскости YZ, обусловленного условиями цикличности, равно . В выражении (3.8), число состояний между двумя квантовыми орбитами равно
(3.9)
Из формулы (3.6) найдём k_x :
(3.10)
При присутствии продольного сильного магнитного поля, движение носителей заряда вдоль оси Х, не квантуется по k_x и принимает следующий вид:
(3.11)
С помощью формулы (3.10) и (3.11), в интервале энергий от до Е можно определить число состояний по оси Х:
(3.11)
Используя формулы (3.9) и (3.11), при присутствии продольного магнитного поля и для прямоугольной квантовой ямы, полное число квантовых состояний получим следующим выражением:
(3.12)
Дифференцируем выражение (3.12) по энергии Е в единице площади (L_XL_Y=1) и определим :
(3.13)
Этот формула называется плотностью энергетических состояний, в двумерных электронных газах (то есть, в прямоугольной квантовой яме), при наличии продольного квантующего магнитного поля. Эта формула является аналогом уравнения квантовой нити (Рис.3.1). Очевидно, что при продольном квантующем магнитном поле, в двумерном электронном газе, энергии свободных электронов в плоскости YZ могут принимать лишь некоторые фиксированные значения, но энергии электрона вдоль оси Х остается свободным (не квантованным). Формула (3.13), при Н0, переходит в [87; C.71-80]:
(3.14)
Эта формула описывает плотность энергетический состояний в двумерным электронных газах при отсутствии магнитного поля (Рис.3.1). В заключение отметим, что основной особенностью осцилляции плотности энергетический состояний для двумерного электронного газа, при наличии продольного сильного магнитного поля, является то, что она не зависит от ширины квантовый ямы или величины размерного квантования и определяется только величиной индукции магнитного поля и энергии. А также плотности состояний осциллируются только соответственно изменениям продольного магнитного поля.
Теперь, рассмотрим зависимость осцилляции плотности состояний от поперечного квантующего магнитного поля, в прямоугольной квантовой яме или двумерных электронных газах. В этом случае, магнитное поле направлено вдоль оси Z и будет перпендикулярно плоскости XY. Здесь, энергии свободных электронов квантовано (дискретно) вдоль оси Z, а носители зарядов двигаются свободно.