Министерство высшего и среднего специального образования республики узбекистан ўзбекистон республикаси

Для растянутых элементов ограничения представляют собой условия прочности 
растянутых элементов вида 
0


i
i
i
N
R
F
(2.6) 
где
i
— номер элемента; 
i
F
— площадь поперечного сечения; 
i
R
— расчетное сопротивление;
i
N
— расчетное усилие в элементе. 
Если растянутый элемент гибкий (канат или пучок проволок), то для того, чтобы 
предотвратить возможность исключения его из работы, записывается также ограничение на 
знак усилия, т. е. условие работоспособности 
0

i
N
(2.7) 
Для сжатых элементов необходимые ограничения представляют собой условия 
устойчивости 
0


i
i
i
i
N
R
F

ттт (2.8) 
где 
i

—коэффициент продольного изгиба; 
i
N
—расчетное усилие сжатия в элементе, 
записанное со знаком «плюс». 
Для изогнутых элементов ограничения записываются как условия прочности или общей 
устойчивости: 
0


i
i
i
i
M
R
F

(2.9) 
где ρ
i
, = W
i
/F
i
— ядровое расстояние характерного сечения; M
i
— расчетный изгибающий 
момент в характерном (опасном) сечении изгибаемого элемента; j— номер характерного (опас- 

---

228 
ного) сечения. 
Первая задача, второй случай — нахождение оптимального распределения внутренних 
усилий статически неопределимой системы с известным распределением материала. 
Целевая функция —внешняя нагрузка: 
P
Z 
(2.10) 
где 
kp
P 
, здесь 
p
— нагрузка известной схемы единичной интенсивности, 
k
— 
коэффициент пропорциональности. 
Ограничения, как и для первого случая первой задачи, - условия несущей способности и 
устойчивости элементов. В отличие от первого случая почти все они линейны, так как при 
известном распределении материала (известны все размеры поперечных сечений) 
коэффициенты ср, ip
6
,р — величины постоянные, не зависящие от усилий. Единственной 
переменной величиной, зависящей от искомого распределения внутренних усилий, является 
коэффициент ф
ви
. Поэтому здесь для полной линеаризации достаточно только применить 
формулу Ясинского при составлении ограничений по внецентренно- сжатым стержням 
системы. 
Вторая задача — поиск оптимальных параметров геометрической схемы системы с 
начальными усилиями при известном ее типе. 
Целевая функция, как и в первой задаче, может быть представлена в виде стоимости, 
массы или объема материала (2.4), (2.5), (2.6), а ограничения (2.7)...(2.14)- в виде 
соответствующих условий несущей способности ее элементов. Однако в отличие от первой 
задачи, где геометрическая схема известна, линеаризовать ограничения и целевую функцию 
трудно, так как неизвестные задачи — площади поперечных сечений элементов, усилия в 
лишних связях, и, наконец, геометрические параметры системы — связаны достаточно 
сложными нелинейными зависимостями. Учитывая это, математическая модель строится 
иначе. Задача расчленяется на две части: первую, в которой определяются внутренние усилия, 
и вторую — поиск оптимальных геометрических параметров. 
Первая решается на основе замены критерия оптимальности критерием рациональности, 
в качестве которого для систем, содержащих жесткие элементы, работающие на сжатие или 
растяжение с изгибом, принимается условие равномоментности (при постоянной осевой силе 
или ее отсутствии) или условие равнонапряженности (при переменной осевой силе) опасных 
сечений. Такая замена позволяет для решения первой части задачи составить математическую 
модель в виде системы уравнений, решая которую удается получить функциональные 
зависимости между геометрическими размерами и параметрами состояния системы — 
внутренними усилиями в ее элементах: осевыми силами и изгибающими моментами. 
Затем можно перейти ко второй части задачи — поиску оптимальных параметров 
геометрической схемы. Используя полученное на первом этапе решение, строится 
аналитическое выражение стоимости, массы или объема материала системы. Для получения 
этого выражения пользуются известными зависимостями между действующими усилиями и 
площадями поперечных сечений элементов. При этом для сжатых элементов можно применять 
приближенную зависимость между коэффициентом продольного изгиба υи гибкостью 
стержняλ: 
2
1
/
1




(2.1) 
где α — постоянная величина, зависящая от класса прочности материала (для стали класса 
С38/23 α = 0,00007). Для сжато-изогнутых стержней используется зависимость Ясинского. 
Полученное выражение исследуется на экстремум, для чего первая производная по 
искомому параметру приравнивается нулю. В результате удается получить выражение для 
определения оптимального параметра. Чаще всего это выражение является полиномом 
достаточно высокой степени.