Microsoft Word Уч пособие 22 09. doc

Оценка размера фрактала по модулю разности яркостей отсчетов

В основе этого метода лежит концепция статистического самоподобия цветных текстур природного происхождения, основывающаяся на том факте, что фракталы природного происхождения статистически инвариантны в широком диапазоне масштабов и каждый из компонентов статистически подобен другим компонентам. Математической моделью таких фракталов является фрактальная (обобщенная) броуновская функция [105].
Фрактальная броуновская функция f(x) является вещественной случайной функцией, такой, что для всех x и  x
^ f ( x  x )  f ( x ) ^
P^  t^  P( t ), (9.63)
 _H 
_ _x _

где x представляет точку в n-мерном евклидовом пространстве R ^E
является функцией распределения случайной величины t.
и P(t)

Обобщение броуновской функции состоит в том, что вместо 1/2 вводится действительный параметр H, некоторая постоянная, диапазон изменения которой [0,1]. Размер фрактала задается соотношением D=n+1-
H. Для 3D поверхностей (n=2), размер фрактала определяется выражением

D=3-H. (9.64)
Рассмотрим основные свойства фрактальной броуновской функции.
P(t) описывает нормальное гауссовское распределение N 0,²  с

математическим ожиданием, равным 0, и дисперсией задается следующим уравнением:
² , то есть P(t)

1 ^{t }  s ^{2 }

P(t) 
_ exp^ ₂




_ 2у
^ds . (9.65)



При задании броуновской функции в соответствии с уравнением (9.63)
в [110] установлено следующее соотношение:

E f ( x  x )  f ( x )  x
 H
 C , (9.66)

где E f (x  x) 
f (x) 
- математическое ожидание разностей значений

функции, находящихся на расстоянии x
друг от друга.

Постоянная C равна математическому ожиданию случайной величины t и является средним абсолютным отклонением. Из (9.65) соотношение между средним абсолютным отклонением С и СКО  выражается следующей зависимостью:


 ₁  _{ s}²  ₂   _{ s}²  _s² 