Microsoft Word Уч пособие 22 09. doc

C_k .
C_p  C _j

• 
  C_k
  

является также непустым множеством разности C _j и

Центр масс кластера задается как

_{xq } 1
_x_i , (q=j,k,p). (9.35)

^mq iC_q
Сумма квадратов расстояний элементов от центра кластера определяется по формуле

e_q 
_ x_i  x_q iC_q
² , (q=i,k,p). (9.36)

Возводя в квадрат правую часть уравнения (9.36), получим:

e_q 
^{ x}i iC_q
²  m_q x_q
2
. (9.37)

Центр масс кластера С_p определяется:

_{x } m _j x _j
p _{m j}

• 
  m_k x_k
  
• 
  m_k
  

. (9.38)

2
Сумма квадратов расстояний элементов от центра кластера p может быть определена в соответствии с (9.37):

e_p 
^{ x}i
iC _p
²  m_p x _p
 _ x_i iC _j
²  _ x_i iC_{k
2 } 1
m_p
m _j x
_j m_k x_k ² =

e _j  e_k 
_j  x_k
² . (9.39)

В нашем случае, когда решение необходимо принимать для каждого элемента растра, оценка производится в соответствии с формулами (9.38) и

(9.39) для числа векторов в кластере C_k
m =1:
k

_{x } ^m j ^x j
p _{m j}

• 
  x_k
  

 1
, (9.40)

e_p = e _j 
_j  x_k
² . (9.41)

Для кластера C_p, образованного объединением двух кластеров C_j и C_k,
C_p  C _j  C_k при условии, что C _j  C_k =0 соответствующие формулы
задаются следующими уравнениями:

_{x } ^m j ^x j
p _{m j}

• 
  m_k x_k
  
• 
  m_k
  

, (9.42)

e_p = e _j

• 
  e_k 
  

_j  x_k
² . (9.43)

Для нашего случая, когда кластер C_k состоит из одного вектора, эти уравнения принимают вид:

_{x } m _j x _j
p _{m j}

• 
  x_k
  

 1

, (9.44)

e_p = e _j 
_j  x_k
² . (9.45)

Алгоритм К-внутригрупповых средних строится следующим образом. Для определенного по тоновому компоненту первоначального разбиения вычисляются оценки центров масс кластеров и суммы квадратов отклонений векторов, принадлежащих кластеру, от центров масс этих кластеров в соответствии с уравнениями (9.35), (9.36) и определяется сумма квадратов отклонений от центров масс кластеров по всем кластерам.

Затем для каждого вектора x_i , принадлежащего кластеру
C_r ,

отыскивается тот кластер j  r , для которого выполняется условие:

_r  x_i ² >
_j  x_i
² . (9.46)

Если таким кластером оказывается кластер
C_v , то сумма квадратов

отклонений векторов от центров масс их кластеров уменьшается:

e_r  ^mr x_r  x_k ² + e_v  ^mv
x_v  x_k
² . (9.47)

m_r  1 m_v  1

Для кластера C_v
вычисляется новое значение центра масс и суммы

квадратов отклонений по формулам (9.44), (9.45), (9.40), (9.41) для

кластеров C_v
и C_r
соответственно.

Такая перестановка приводит к уменьшению общей суммы квадратов отклонений векторов от центров масс кластеров, которым они принадлежат. Классический алгоритм К-внутригрупповых средних предполагает выполнение стольких итераций этого процесса, сколько потребуется для того, чтобы при двух последовательных итерациях сумма квадратов отклонений не изменилась.
Представим подробнее схему выполнения алгоритма. Размерность вектора x L=3 (вектор задается своими RGB компонентами). Первоначальное разбиение выполняется по тоновому компоненту, и результат сегментации записывается в виде уровней отсчета изображения. Значение отсчета равно номеру кластера, сформированного после выполнения порогового ограничения. N - количество кластеров, полученных после сегментации, является параметром алгоритма.
Затем производится оценка центров кластеров S[ j,k ]  j [1, N ],
k  1, L и суммы квадратов отклонений всех векторов кластера от центра
кластера e[r]  r  1, N , причем отклонение для каждого вектора определяется в пространстве RGB, то есть


zr, j L Sr,k  xk , j² , (9.48)
k 1

где k - номер компонента вектора, r - номер кластера, j- номер элемента в

кластере;
x[k , j]

• 
  значение k-го компонента j-го элемента изображения,
  

принадлежащего кластеру r.
Вычисляется сумма квадратов отклонений от центра кластера по всем векторам, составляющим кластер:
er _ zr, j. (9.49)
j

N
Вычисляется сумма квадратов отклонений от центров кластеров по всем кластерам, составляющим изображение:
D  _ er. (9.50)
r 1
Выполняется перераспределение векторов между кластерами таким образом, чтобы минимизировать D. Формируются новые оценки центров кластеров и суммы квадратов отклонений векторов, входящих в кластер, от центра кластера в соответствии с формулами (9.40), (9.41), 9.44, 9.45.
На рисунке 9.6 представлен график зависимости нормированного к максимальному значению значения суммы квадратов отклонений векторов от центров кластеров D/Dmax от числа итераций ntrace.


1,2

График 1
График 2
График 3
График 4
1

D/Dmax

0,8
0,6
0,4
0,2
0
ntrace
Рисунок 9.6 График зависимости нормированной величины внутрикластерных ошибок D/Dmax от числа итераций ntrace.
Исследования проведены по 50 различным цветным изображениям. Коэффициент уменьшения D от итерации к итерации изменяется, но характер зависимости соответствует представленному на рисунке. Из графика видно, что увеличение числа итераций не приводит к существенному уменьшению D. Метод К-внутригрупповых средних сходится локально. Эффективность кластеризации зависит от первоначального разбиения. На основании полученных результатов исследования ограничим число итераций:
ntrace=1. (9.51)
На рисунке 9.7 приведен пример изображений, в которых кластеры представлены центрами масс.

а)б)
в)г)

Рисунок 9.7 Пример классификации изображений. Кластеры представлены центрами масс. a) Исходное изображение; в) изображение получено после кластеризации по методу К-внутригрупповых средних при числе итераций ntrace=1; г) изображение получено после кластеризации по методу К − внутригрупповых средних при числе итераций ntrace=10; б) изображение, сформированное как разность изображений в) и г).
Изображения получены после кластеризации по методу К - внутригрупповых средних при числе итераций ntrace=1 (рисунок 9.7 в) и ntrace=10 (рисунок 9.7 г). На рисунке 9.7 б) показано изображение, сформированное как разность изображений в) и г), по которому видно, что увеличение числа итераций приводит к уточнению разбиения прежде всего на границах кластеров, но не уменьшает ошибок разбиения, вызванных первоначальным разбиением. Например, изображения красно-коричневых кругов (рисунок 9.7 a) отнесены к одному кластеру. Увеличение числа итераций не приводит к их разделению, хотя глаз хорошо различает эти круги. Для уменьшения ошибок кластеризации выполним дополнительное разбиение кластеров посредством сегментации по гистограммам H, R, G, B компонентов, полученным для каждого кластера, по методу порогового
ограничения. Сформируем кластеры и применим алгоритм К − внутригрупповых средних для доопределенного множества кластеров. На рисунке 9.8 г) видно, что вследствие доопределения кластеров, выполнено разделение кругов красно-коричневого цвета на кластеры, соответствующее зрительному восприятию.

а)б)
в)г)
Рисунок 9.8 Пример классификации: a) исходное изображение; б) изображение, представленное центрами масс кластеров после первоначального разбиения по тоновому компоненту; в) изображение, представленное центрами масс кластеров, при кластеризации по методу К-внутригрупповых средних после выполнения 1 итерации; г) изображение, представленное центрами масс кластеров, после доопределения кластеров и кластеризации по методу К − внутригрупповых средних.
На рисунке 9.9 представлены маски красно-коричневого кластера, полученные на различных шагах алгоритма. Для повышения эффективности алгоритма на этапе оценки гистограмм распределения компонентов сигнала, наряду с цветовыми характеристиками, используется пространственная характеристика изображения. А именно, для уменьшения влияния ошибок первоначального разбиения по гистограмме тонового компонента, для каждого кластера выполняется
селекция связных компонентов, исключаются из рассмотрения все связные области, имеющие некоторый заданный размер, оценка гистограммы производится только для связных областей кластера, превышающих этот заданный размер.

Рисунок 9.9 Маски красно-коричневого кластера, полученные на различных шагах.

Для сокращения избыточности кластеризации используется метод иерархического слияния кластеров [99]. В качестве меры межкластерных расстояний используется мера Махаланобиса. При работе алгоритма К- внутригрупповых средних мы использовали меру удаленности векторов от центра кластеров в пространстве RGB для вычисления в соответствии с формулой (9.36) .
Аналогично можно определить и расстояние между кластерами:
di, j  , (9.52)
где R[i], Gi , Bi- RGB координаты центра масс кластера i; R[j], G j, B j
- RGB координаты центра масс кластера j.
При объединении кластеров будем учитывать также дисперсию плотности распределения RGB компонентов кластера. Это можно сделать
при использовании меры Махаланобиса [84], описываемой следующим уравнением:
mdi, j  ^{di, j} , (9.53)

где
di, j
определяется в соответствии с формулой (9.52.);
 ² ,
i
 _j ² -

дисперсии плотностей распределения RGB компонентов кластеров i, j
соответственно.
Рассмотренный метод автоматической классификации цветных текстурных изображений является синтезом метода квантования гистограмм и метода кластеризации по К-внутригрупповым средним. Такой синтез методов позволяет, не делая предположений о законах распределения кластеров, на основании информации, содержащейся в изображении, получить более гибкую форму кластера. При автоматической сегментации цветных текстурных изображений на первом шаге выполняется сегментация по гистограмме распределения тонового компонента для сокращения времени выполнения разбиения. На втором шаге выполняется алгоритм кластеризации по методу К-внутригрупповых средних по критерию минимальной удаленности элемента изображения от центра кластера в пространстве RGB. На третьем шаге для каждого кластера производится селекция связных компонентов с целью уменьшения ошибок при выборе порогов по гистограммам распределений компонентов с учетом пространственных характеристик кластера. В выборку включаются только те связные области кластера, которые превышают некоторый заданный размер области. Вычисляются гистограммы распределения компонентов R, G, B.
Определяются пороги квантования и производится дополнительное разбиение кластеров. На четвертом шаге для доопределенного множества кластеров производится кластеризация элементов изображения по методу К-внутригрупповых средних. На пятом шаге выполняется алгоритм иерархического объединения кластеров по критерию минимума меры Махаланобиса. На шестом шаге выполняется объединение кластеров. Предложенный алгоритм обладает следующими преимуществами. Он учитывает как пространственные, так и цветовые характеристики изображения. Количество кластеров не является предопределенным, а вычисляется в процессе обработки в соответствии с информацией, содержащейся в обрабатываемом изображении. Определение границы сегмента производится с точностью до элемента растра в отличие от фрагментарных методов, при использовании которых точность определения границы зависит от размера фрагмента. Алгоритм обеспечивает сокращение пространства признаков с 16 миллионов до нескольких десятков кластеров.

6.