Microsoft Word Уч пособие 22 09. doc

0 1/4 1/2 3/4 1
а) б) в)
Рисунок 8.18 Вейвлет Хаара. а) Масштабирующая функция («отцовский вейвлет»), б) материнский вейвлет, в) производные вейвлеты Хаара.
Аналогично для высокочастотного фильтра

d_n 
1
_ g_k k 0
^f nk
 ¹ f  ¹
2 ⁿ 2
^f n1
. (8.28)

Таким образом, НЧ фильтр производит усреднение соседних отсчетов, а ВЧ фильтр формирует первую конечную разность. В результате исходную последовательность длиной N можно разложить на две
последовательности длиной N / 2 : так называемые аппроксимирующую
a_n  и детализирующую d _n  последовательности, или НЧ и ВЧ
субполосы.
Из (8.27) и (8.28) сложением правых и левых частей получаем формулу обратного преобразования, позволяющую восстановить исходный сигнал:
f _n  a_n  d_n . (8.29)
В общем случае задачу восстановления сигнала решают, строя
квадратурно-зеркальные фильтры в соответствии с уравнениями (8.31), (8.32) [60]:

~

H
^~   H  , (8.31)
G  exp iH   , (8.32)
где черта означает комплексное сопряжение. Для этих фильтров

G  expiH   . (8.33)

~
В случае вейвлета Хаара восстанавливающие фильтры получим в соответствии с (8.31), (8.32), используя (8.23) и (8.24) соответственно:

~
H   1 / 2  1 / 2expi,
G  exp iH     1 / 2exp i  1 / 2exp i2.

~

h
Отсюда получаем коэффициенты восстанавливающих НЧ и ВЧ фильтров соответственно:

h_1  1/ 2,
^~  1 / 2 ; (8.34)
0

g^~  1 / 2 ,
1
g^~  1 / 2 . (8.35)
2

Вейвлет Хаара обладает компактным носителем, но плохо локализован в частотной области. Ингрид Добеши показала в 1988 году, что компактный носитель возможен не только для вейвлетов Хаара. Добеши построила ортогональные вейвлеты с компактным носителем, локализованные и в частотной области, обладающие свойствами гладкости и исключения моментов. Для больших по площади и относительно гладких изображений они дают большое преимущество при сжатии. Для таких изображений не только уменьшается общая ошибка декодирования при заданном коэффициенте сжатия, но также существенно уменьшается блочность, имеющая место при сжатии с помощью вейвлетов Хаара.
Рассмотрим прямое и обратное дискретные вейвлетные преобразования на примере фильтра Добеши 4-го порядка, обозначаемого D4 (n=3) [61]. Коэффициенты, определяющие вейвлеты Добеши, равны:

_{с } 1 3 _,
0 _{4
с1 } 3  3 _, 4
_{с } 3  3 _,
2 ₄