Microsoft Word Уч пособие 22 09. doc

Исходное изображение


768x576
A


ВЧx


2 _А
384x576

НЧx ₂
384x576

1 стадия



2 стадия
Рисунок 8.16 Схема вейвлет-кодирования изображения.

На рисунке 8.17 представлено пространственное расположение блоков коэффициентов вейвлетного преобразования в соответствии с пространственным расположением элементов изображения.
₀ 767


F

G _{E C}

D В _А

F

G _{E C}

D В _А

575
Рисунок 8.17 Пространственное расположение блоков коэффициентов в кадре изображения после вейвлетного преобразования.
Размер матрицы коэффициентов преобразования соответствует размерам кодируемого изображения. В 1997 г. фирмой Analog Devices выпущена первая микросхема ADV601 [59], выполняющая вейвлет – преобразование в реальном времени в соответствии с представленной схемой, число стадий равно 5.
Выбор базиса вейвлетов для кодирования изображения является трудной задачей. Известен ряд критериев построения «хороших» вейвлетов, среди которых наиболее важными являются: гладкость, точность аппроксимации, величина области определения, частотная избирательность фильтра. Для кодирования/декодирования изображений удобно строить вейвлеты на основе ортогональных базисных функций.
Простейшим видом вейвлет-базиса для изображений является разделимый базис, получаемый сжатием и растяжением одномерных вейвлетов. Основополагающей в вейвлет-анализе является идея о выделении информации при различных уровнях детализации.
Доказано, что для ортогональных вейвлетов точное восстановление сигнала возможно при дополнительном использовании
аппроксимирующей функции. Рассмотрим подробнее ДВП и ОДВП с использованием вейвлета Хаара. Хаар в 1910 году описал полную ортонормальную систему базисных функций с локальной областью определения, то есть имеющих компактный носитель:

_1,

_- 1,
t   ^
если 0  t  1/2
если1/2  t  1. (8.21)


^ 0,
иначе

Функция (8.21) называется материнским вейвлетом. Масштабированный и сдвинутый вариант материнского вейвлета Хаара
 _{k, j} t  определяется следующим образом:

^{ t   } ^{2k t  j ,}
k , j _
j  0,..,2^k 1. (8.22)

Аппроксимирующая функция Хаара имеет вид:


t   ^1,
_0,
0  t  1
. (8.23)
иначе

На рисунке 8.18 показано, как выглядят аппроксимирующая функция
(а), материнский вейвлет t  Хаара (б), и масштабированный во времени
вейвлет 2t  и масштабированный и сдвинутый вейвлет 2t  1.
Хаар не называл эту функцию вейвлетом. В области цифровой обработки и анализа сейсмических сигналов в работах А. Гроссмана и Ж. Морле было предложено посылать вглубь Земли вместо импульсов одинаковой длины короткие волновые образования, полученные просто масштабированием одной функции. Именно ее потом и назвали вейвлетом. На основании (8.21) можно построить фильтры Хаара: НЧ с

элементами импульсной характеристи h₀  1/ 2 ,
h₁ 1/ 2 и ВЧ с

импульсными характеристиками g ₀ 1/ 2 ,
g₁ 1/ 2 . Прямым

преобразованием Фурье можно получить передаточные характеристики этих фильтров:

H  
G 
_h_k exp ik   1/ 2  1/ 2exp i  cos/ 2exp i/ 2, (8.24)
kZ
_ g_k exp ik   1/ 2  1/ 2exp i  i sin/ 2exp i/ 2, (8.25)
kZ

где Z-любое целое число от   до   .
Из (8.24) реальная часть Re H =cos ²  / 2, а мнимая часть
Jm H =  cos / 2sin / 2, откуда модуль:
H   cos/ 2. (8.26 a)
Аналогично из (8.24)
G  sin / 2 . (8.26 б)
Рассмотрим входную последовательность f_n . Преобразование
Фурье такой последовательности обозначим F . Функция

A  H F 
представляет преобразование Фурье сигнала на выходе

фильтра, а сам сигнал находится в виде свертки:

a_n 
1
^{ h}k
^fnk
 ¹ f_n  ¹
2 2
^fn1
. (8.27)

k 0
1