Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

II.
Agar (1) sonli qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda (2) sonli qator ham 
uzoqlashuvchi bo‘ladi. 
Isbot: I. 
(1) va (2) sonli qatorlarning 
n
- xususiy yig‘indisini mos ravishda 
S
n
(
u
) 
va 
S
n
(
v
) deb belgilaymiz. Musbat hadli sonli qatorlarning 
n
-
xususiy
 
yig‘indilari 
S
n
(
n
=1,2,3, ∙∙∙) monoton o‘suvchi ketma-ketlikni tashkil etadi. Haqiqatan ham, 
и
n+
1
>0 
bo‘lgani uchun 
S
n+
1
=
S
n
+
 
и
n
+1
>
S
n
 
. Shu sababli musbat hadli sonli qator 
yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatish uchun uning
S
n
(
n
=1,2,3, ∙∙∙) xususiy yig‘indilari 

---

ketma-ketligi yuqoridan chegaralangan bo‘lishini ko‘rsatish kifoya, chunki bu holda 
(VI bob, §2, 2-teoremaga qarang) 
n
n
S


lim
limit mavjud va chekli bo‘ladi. Bizning 
holda, teorema shartiga asosan, 
)
(
)
(
lim
v
S
v
S
n
n



mavjud bo‘lgani uchun 
S
n
(
v
) 
(
n
=1,2,3, ∙∙∙) yuqoridan chegaralangan. Unda , 
S
n
(
u
) ≤ 
S
n
(
v
) bo‘lgani uchun,
S
n
(
u
) 
(
n
=1,2,3, ∙∙∙) monoton o‘suvchi sonli ketma-ketlik ham yuqoridan chegaralangan va 
shu sababli 
)
(
)
(
lim
u
S
u
S
n
n



mavjuddir. Bundan tashqari ushbu tengsizlik ham 
o‘rinli bo‘ladi: 
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
v
S
u
S
v
S
u
S
v
S
u
S
n
n
n
n
n
n









. 
II.



1
k
k
v
(2) sonli qator yaqinlashuvchi deb faraz qilamiz. Bu holda, teoremaning 
I qismiga asosan, (1) sonli qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu esa teorema 
shartiga zid. Demak, farazimiz noto‘g‘ri va (2) qator uzoqlashuvchidir.
Teorema to‘liq isbotlandi. 
Misol sifatida umumiy hadi 
u
n
=1/(
n
+3
n
) bo‘lgan musbat hadli sonli qatorni 
qaraymiz. Bunda













1
1
2
/
1
)
3
/
1
(
,
)
3
1
(
3
1
3
1
k
n
k
k
n
n
n
n
n
v
v
n
u
 
bo‘lgani uchun berilgan sonli qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi 1/2 sonidan 
katta bo‘lmaydi. 
Izoh: 
Oldingi paragrafdagi 1-teoremaga asosan qatorni chekli sondagi hadlarini 
tashlab yuborish uning yaqinlashuvchiligiga ta’sir etmaydi. Shu sababli (1) qator 
yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun taqqoslash alomatidagi 
и
n
≤
v
n
 
tengsizlik barcha 
n
=1,2,3, ∙∙∙ uchun bajarilishi shart bo‘lmasdan, biror 
N 
sonidan
 
boshlab, ya’ni 
 n
≥
N
bo‘lganda bajarilishi kifoyadir. Ammo bunda 
S
(
u
)≤
S
(
v
) tengsizlik bajarilmasligi 
mumkin. 
Masalan, 






1
2
5
4
7
2
k
k
k
k
sonli qatorni qaraymiz. Uning umumiy hadi 
1
)
2
(
1
)
4
(
2
5
4
7
2
2
2









n
n
n
n
n
u
n
n
≥4 bo‘lganda musbat bo‘ladi va shu sababli bu qatorning dastlabki uchta hadini 
tashlab yuborib, musbat hadli sonli qatorga ega bo‘lamiz. Bundan tashqari 
n
>10 
bo‘lganda 
u
n
>2/
n
=
v
n
 
bo‘ladi. Haqiqatan ham, 
n>
4 deb olsak, unda 
10
10
8
2
7
2
2
5
4
7
2
2
2
2
2













n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
u
n
. 
Bunda 
v
n
=2/
n
garmonik qatorni ikkiga ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan uzoqlashuvchi 
qatorning umumiy hadini ifodalaydi. Demak, taqqoslash alomatining II qismiga 
asosan, qaralayotgan qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. 
2-TEOREMA
(Limitik taqqoslash alomati)
:
Agar 



1
k
k
u
(1) va 



1
k
k
v
(2) 
musbat hadli sonli qatorlar bo‘lib, ularning umumiy hadlarining nisbati chekli

---

A
v
u
n
n
n



)
/
(
lim
limitga ega bo‘lsa, unda (1) va (2) sonli qatorlar bir paytda yoki 
yaqinlashuvchi, yoki uzoqlashuvchi bo‘ladi. 
Isbot: 
Sonli ketma-ketlik limiti ta’rifiga asosan (VII bob, §2, 4-ta’rifga qarang) 
har qanday ε>0 soni uchun (biz ε<
A 
deb olamiz) shunday 
N
soni topiladiki, barcha 
n>N
uchun 
n
n
n
n
n
n
n
v
A
u
v
A
A
v
u
A
v
u
)
(
)
(

















. 
Bu yerdan ko‘rinadiki, agar (2) sonli qator yaqinlashuvchi, ya’ni 





1
k
k
v
bo‘lsa, 
unda, taqqoslash teoremasi va yuqoridagi izohga asosan,




















1
1
1
)
(
k
k
n
k
k
n
k
k
u
u
v
A

, 
ya’ni (1) sonli qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Xuddi shunday, agar (1) qator 
yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda 




















1
1
1
)
(
k
k
N
k
k
N
k
k
v
v
v
A

, 
ya’ni (2) sonli qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. 
Teoremadagi (1) va (2) sonli qatorlardan birining uzoqlashuvchi ekanligidan 
ikkinchisining uzoqlashuvchi ekanligini kelib chiqishi haqidagi tasdiq ham xuddi 
shunday tarzda isbotlanadi va o‘quvchiga mustaqil ish sifatida havola qilinadi. 
Masalan,
)
3
1
(
3
1
va
)
3
)
1
(
(
3
)
1
(
1
2
2
1
2
2
n
n
k
k
n
n
k
k
v
n
n
u
k
k










sonli qatorlarni qaraymiz. Ularning ikkinchisi maxraji 1/3=
q
<1 bo‘lgan geometrik 
progressiya hadlaridan tuzilganligi uchun yaqinlashuvchi qator bo‘ladi. Ammo 
0
1
1
lim
lim
2
2








n
n
v
u
n
n
n
n
bo‘lgani uchun, limitik taqqoslash alomatiga asosan, bu qatorlarning birinchisi ham 
yaqinlashuvchi bo‘ladi. 
Taqqoslash alomatlarida berilgan musbat hadli 



1
k
k
u
(1) sonli qatorning 
yaqinlashuvchi ekanligini tekshirish maqsadida hadlari
и
n
≤
v
n
 
(
n
≥
N
) tengsizlikni 
qanoatlantiradigan boshqa bir musbat hadli



1
k
k
v
(2) sonli qator qaraladi. Bunda (2) 
qator (1) qator uchun 
majoranta qator 
deb ataladi.
2.2.
 
Dalamber alomati.
Yuqorida ko‘rilgan taqqoslash alomatlaridan 
foydalanish uchun majoranta qatorni topishga to‘g‘ri keladi va bu masala har doim 
ham osonlik bilan yechilmaydi. Shu sababli ko‘p hollarda berilgan 



1
k
k
u
sonli 
qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini uning 
u
n
(
n
=1,2,3, ∙∙∙) hadlari 
orqali aniqlashga imkon beradigan alomatlardan foydalanishga to‘g‘ri keladi. Bunday 
alomatlardan biri farang matematigi J.Dalamber (1717-1783y.) tomonidan topilgan.

---

3-TEOREMA
(
Dalamb
е
r alomati
):
 
Berilgan 



1
k
k
u
musbat hadli sonli qator 
uchun 
d
u
u
n
n
n




1
lim
(3) 
limit mavjud bo‘lsin. Bu holda 
d
<1 bo‘lganda qator yaqinlashuvchi, 
d>
1

bo‘lganda 
esa uzoqlashuvchi bo‘ladi. 
Isbot: 
Dastlab 
d<
1 holni ko‘ramiz. Teoremadagi (3) shart va sonli ketma-ketlik 
limiti ta’rifiga asosan har qanday ε>0 soni uchun (biz 
q
=ε+
d
<1
 
deb olamiz) shunday 
N
soni topiladiki, barcha 
n
≥
N
uchun 
q
u
u
d
u
u
d
d
u
u
d
u
u
n
n
n
n
n
n
n
n


















1
1
1
1





(4) 
tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi. Oxirgi tengsizlikdan foydalanib, quyidagi tengsizliklarga 
ega bo‘lamiz: 
,
,
2
1
2
1
q
u
q
u
u
q
u
u
N
N
N
N
N








,
,
,
1
3
2
3
m
N
m
N
m
N
N
N
N
q
u
q
u
u
q
u
q
u
u









. 
Bu yerdan ko‘rinadiki 



N
k
k
u
sonli qator uchun







1
1
k
k
N
k
k
N
q
u
q
u
sonli qator majoranta bo‘ladi. Bu majoranta qatorda 
q
<1 bo‘lgani uchun u 
yaqinlashuvchi bo‘ladi. Unda, taqqoslash alomatiga ko‘ra, 



N
k
k
u
qator 
yaqinlashuvchi ekanligini ko‘ramiz. Bu qatorga chekli sondagi 
u
1
, 
u
2
, ∙ ∙ ∙ , 
u
N
–1
hadlarni qo‘shish orqali berilgan



1
k
k
u
sonli qator yaqinlashuvchi ekanligini 
ko‘ramiz. 
Endi 
d
>1 holni qaraymiz. Bu holda ε>0 sonini shunday tanlaymizki, 
d
– ε>1 
bo‘lsin. Bu holda, yuqoridagi (4) tengsizlikka asosan, barcha 
n
≥
N 
uchun 
n
n
n
n
u
u
d
u
u







1
1
1

natijani olamiz. Bu yerdan ko‘rinadiki, barcha 
n
≥
N 
uchun qator hadlari 
u
n
o‘suvchi va 
shu sababli 
0
lim



n
n
u
bo‘ladi. Demak, 



1
k
k
u
sonli qator uzoqlashuvchi, chunki 
uning uchun qator yaqinlashuvining zaruriy sharti 
0
lim



n
n
u
bajarilmaydi.
Izohlar: 1. 
Agar 
d
=1 bo‘lsa, qator yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham 
bo‘lishi mumkin va shu sababli bu holda boshqa alomatlardan foydalanishga to‘g‘ri 
keladi. 
2. 
Agar 





n
n
n
u
u
1
lim
bo‘lsa , qator uzoqlashuvchi bo‘ladi . 
Misol sifatida

---

1) 



1
3
3
k
k
k
, 2) 



1
3
!
k
k
k
, 3)



1
1
k
k
,
4) 




1
)
1
(
1
k
k
k
musbat hadli sonli qatorlarni Dalamber alomati yordamida tekshiramiz. 
1) 
3
1
)
1
1
(
lim
3
1
3
3
)
1
(
lim
lim
3
,
3
)
1
(
3
1
3
3
1
3
1
3
1



















n
n
n
u
u
n
u
n
u
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
. 
Demak, bu qator uchun 1/3=
 d
<1 va shu sababli qator yaqinlashuvchidir. 
2) 




















n
n
n
u
u
n
u
n
u
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
lim
3
1
!
3
)!
1
(
3
lim
lim
3
!
,
3
)!
1
(
1
1
1
1
. 
Demak, bu qator uzoqlashuvchi ekan. 
3) 

1
1
lim
lim
1
,
1
1
1
1













n
n
u
u
n
u
n
u
n
n
n
n
n
n
. 
Bu yerda 
d
=1 bo‘lgani uchun Dalamber alomati orqali bu qator yaqinlashuvi yoki 
uzoqlashuvi haqida xulosa chiqarib bo‘lmaydi. Ammo bu garmonik qator bo‘lgani 
uchun u uzoqlashuvchi bo‘ladi.
4) 

1
2
lim
lim
)
1
(
1
,
)
2
)(
1
(
1
1
1















n
n
u
u
n
n
u
n
n
u
n
n
n
n
n
n
. 
Bu yerda ham 
d
=1 bo‘lgani uchun Dalamber alomati yordamida bu qator haqida 
xulosa chiqarib bo‘lmaydi. Ammo oldin (§1, (3) misolga qarang) bu qator 
yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi 
S
=1 ekanligi ko‘rsatilgan edi.