Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

1.3.
 
Sonli qator yaqinlashuvining zaruriy sharti. 
Endi berilgan sonli 
qatorning yaqinlashuvi va uzoqlashuvini aniqlashga imkon beradigan shartlarni 
ko‘rishga o‘tamiz. 
4-TEOREMA: 
Agar (1) sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda uning 
umumiy hadi 
u
n
uchun 
0
lim



n
n
u
(10) 
tenglik o‘rinli bo‘ladi. 
Isbot: 
(1) sonli qatorning yig‘indisi 
S
bo‘lsin. Bu holda 
u
n
=S
n
 – S
n
–1
ekanligidan 
foydalanib, (10) tenglikni quyidagicha hosil qilamiz: 
0
lim
lim
)
(
lim
lim
1
1

















S
S
S
S
S
S
u
n
n
n
n
n
n
n
n
n
. 
Shunday qilib, sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning umumiy hadi 
albatta (10) shartni qanoatlantirishi lozim, ya’ni (10) 
qator yaqinlashuvining zaruriy 
shartini
ifodalaydi. Bu shart bajarilmasa, sonli qator albatta uzoqlashuvchi bo‘ladi. 
Masalan, yuqorida ko‘rilgan qatorlarda 
u
n
=1+0.5
n
,
v
n
=1–0.5
n
va 
0
1
)
5
.
0
1
(
lim
lim
,
0
1
)
5
.
0
1
(
lim
lim
















n
n
n
n
n
n
n
n
v
u
bo‘lgani uchun bu qatorlar uzoqlashuvchi ekanligiga yana bir marta ishonch hosil 
qilamiz. 
Ammo (10) shart sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun yetarli emas. 
Masalan, 
garmonik qator
deb ataluvchi ushbu 










1
1
1
4
1
3
1
2
1
1
k
k
n


(11) 

---

sonli qatorning umumiy hadi 
u
n
=1/
n
bo‘lib, (10) shartni qanoatlantiradi. Ammo 
garmonik qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Buni teskarisini faraz qilish orqali 
isbotlaymiz. (11) sonli qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi 
S
deb olamiz va 
S
n
hamda 
S
2
n
xususiy yig‘indilarni qaraymiz. Unda bir tomondan sonli qator yig‘indisi 
ta’rifi va farazimizga asosan 
0
)
(
lim
lim
lim
2
2













S
S
S
S
S
S
S
n
n
n
n
n
n
n
(12) 
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Ikkinchi tomondan esa 
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2













n
n
n
n
n
n
n
n
S
S
n
n


va, limit xossasiga asosan, 
0
2
1
2
1
lim
)
(
lim
2








n
n
n
n
S
S
(13) 
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. (12) va (13) bir-biriga qarama-qarshi tasdiqlarni ifodalaydi. 
Demak, (11) garmonik qator yaqinlashuvchi degan farazimiz noto‘g‘ri va bu qator 
uzoqlashuvchi ekan. 
Shunday qilib, berilgan sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lishining yetarli shartini 
topish masalasi paydo bo‘ldi. Bu masala bilan keyingi paragraflarda shug‘ullanamiz. 
XULOSA 
Sonli ketma-ketlik hadlarini birin-ketin qo‘shib borishdan hosil bo‘ladigan 
yig‘indilarning limiti sonli qator bo‘ladi. Bu limit chekli sondan iborat bo‘lsa qator 
yaqinlashuvchi va limit qiymati uning yig‘indisi deyiladi. Aks holda bu qator
uzoqlashuvchi deyiladi. Sonli qatorlarning chekli sondagi hadlarini tashlab 
yuborilganda uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligi o‘zgarmay qoladi. 
Yaqinlashuvchi sonli qatorlarni o‘zgarmas songa ko‘paytirish yoki qo‘shish 
natijasida yana yaqinlashuvchi qator hosil bo‘ladi. Sonli qator yaqinlashuvining 
zaruriy sharti–uning umumiy hadining limiti nol bo‘lishidan iboratdir. Ammo 
garmonik qator misolida bu shart qator yaqinlashuvi uchun yetarli emasligi ko‘rinadi.