Mexanik tebranishlar

Garmonik otsilyator. 
Tebranishlarning juda keng sinfi uchun umumiy bo’lgan bu xossani birinchi bo’lib G. 
Galiley 1593 yilda aniqlagan. Izoxronlik yoki boshqacha aytganda, mayatnik tebranishlar 
davrining doimiyligi qonuni keyinchalik XVII asrda niderland olimi X. Gyugensga soatlarda 
mayatnik qo’llashga imkon berdi. 
Quyidagi tenglama bilan tasvirlanadigan sistemaga garmonik otsilyator (yoki garmonik 
tebratgich) deb ataladi: 
bu yerda 
o’zgarmas musbat kattalik. Biz (9.12) tenglamaning qanday yechilishini bilamiz, 
uning yechimi quyidagi ko’rinishga ega: 
Demak, garmonik otsilyator muvozanat holati atrofida garmonik tebranuvchi sistemadan iborat 
ekan. Garmonik tebranishlar uchun yuqorida olingan barcha natijalar shubhasiz garmonik 
otsilyator uchun o’rinlidir. Qo’shimcha yana ikkita masalani kuzataylik. 
Garmonik otsilyatorning impulsini topaylik. (9.13) tenglamani vaqy bo’yicha 
differensiyallab va olingan natijani otsilyatorning massasi ga ko’paytirsak 

---

ega bo’lamiz. Muvozanat holatidan og’ishi bilan xarakterlanadigan har bir holatda otsilyator 
impulsning bazi bir qiymatiga ega bo’ladi. ni funksiyasi sifatida topish uchun (9.13) va 
(9.14) tenglamalardan vaqtni chiqaramiz. Buning uchun tenglamani quyidagi ko’rinishga olib 
kelamiz: 
Ushbu tenglamalarni kvadratga ko’tarib va qo’shib 
4, a – rasmda garmonik otsilyator impulsi ning og’ishiga bog’liqligi ko’rsatilgan. Koordinata 
tekisligi va larni fazoviy tekislik deb atab, mos grafikni 
bo’lsa fazoviy traektoriya deb ataymiz. (9.15) ga binoan 
garmonik otsilyatorning fazoviy traektoriyasi va 
yarim o’qga ega ellipsdan iborat bo’lar ekan. Fazoviy 
traektoriyaning har bir nuqtasi og’ish va impuls bilan 
tasvirlanadi, ya’ni bazi bir vaqt mobaynidagi otsilyatorning 
holati. Vaqt o’tishi bilan holatni tasvirlovchi nuqta fazoviy 
traektoriya bo’ylab siljiydi va bir tebranish davri mobaynida 
to’liq bir marta aylanadi. Siljish soat strelkasi bo’yicha sodir 
bo’ladi. Shunday vaqt momentini olaylik, 
( – butun son). Ushbu vaqt momentiga 
va 
mos 
keladi (4, a – rasmdagi 1 nuqtaga qarang). Vaqtning keying momentida kamayadi, bo’lsa 
moduli bo’yicha manfiy qiymatga oshadi. Demak, tasvirlangan nuqta soat strelkasi bo’ylab 
harakatlanar ekan. 
Ellipsning yuzini topaylik. Ma’lumki u ellipsning yarim o’qlarining ko’paytmasiga tengdir: 
Bu yerda 
otsilyatorning to’liq energiyasidir. 
, otsilyatorning xususiy 
chastotasi. Shunday qilib, ellipsning yuzi quyidagiga teng bo’ladi: 
bundan
Demak, garmonik otsilyatorning to’liq energiyasi ellipsning yuziga proporsional ekan. 
Proporsionallik koeffitsienti otsilyatorning xususiy chastotasidir. 
Ellipsning yuzi integral ko’rinishida quyidagicha hisoblanadi: 

---

So’ngi ifoda kvant mexanikasining asosini yaratishda asosiy vazifani bajaradi.