Методическое пособие для студентов заочного факультета Санкт-Петербург 2007

Эквивалентные соединения резистивных элементов
по схеме треугольника и звезды
При расчете схемы встречаются сложные соединения, части которых нельзя отнести ни к последовательным, ни к параллельным соединениям. В частности рассмотрим часть схемы в виде треугольника (рис. 22а), вершинами которого А,В,С являются три узла, а сторонами – три резистора R_АВ, R_ВС, R_СА, включенные между этими узлами.
Для упрощения подобных схем во многих случаях бывает удобным заменить треугольник эквивалентной трехлучевой звездой (рис. 22б). Такое преобразование широко применяется при расчетах сложных цепей постоянного тока и цепей трехфазного тока.

Рис. 22
Эквивалентность схем в виде треугольника и звезды получается приравниванием значений сопротивлений или проводимостей между узлами этих схем, отсоединенных от остальной части цепи.
При заданной схеме треугольника (рис. 22а) сопротивления R_А, R_В, R_С эквивалентной звезды (рис. 22б) рассчитываются по формулам:
,
где R_АВ, R_ВС, R_СА  сопротивления ветвей треугольника;
∑R_Δ = R_АВ + R_ВС + R_СА  сумма сопротивлений треугольника.
Возможно обратное преобразование звезды из резистивных элементов в эквивалентный треугольник по формулам:

Подробный вывод формул взаимного эквивалентного преобразования треугольника и звезды приведен в [4].
Примером упрощения расчетов может служить преобразование мостовой схемы соединения резистивных элементов (рис. 23а).
После замены одного из треугольников эквивалентной звездой всю цепь (рис. 23б) можно рассматривать как смешанное соединение резистивных элементов.

Рис. 23
2.2. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа
Этот метод является наиболее общим, поскольку все остальные методы расчета электрических цепей в той или иной степени базируются на использовании законов Кирхгофа.
Задача расчета электрической цепи в классической постановке формулируется следующим образом: заданы структура (схема) цепи, численные значения э.д.с. источников и электрических сопротивлений (проводимостей) всех ветвей, а требуется определить все токи, падения напряжения и мощности всех элементов цепи.
В такой постановке задачи неизвестными являются токи в ветвях. Обозначим буквами: р  общее число ветвей цепи, q  число электрических узлов. Тогда необходимое число уравнений, подлежащих решению, должно быть равно числу ветвей цепи р.

Рис. 24
Рассмотрим в качестве примера электрическую цепь на рисунке 24, в которой число ветвей р = 6, число узлов q = 4. Для расчета такой цепи необходимо составить и решить систему из шести алгебраических уравнений ( по числу ветвей р = 6).
Будем считать, что э.д.с. в схеме (рис. 24) заданы и по величине и по направлению. Что касается токов, то их направления выбираются произвольно (как показано на рисунке 24). Если при расчете токи получатся со знаком минус, то их направление было выбрано неправильно.
Покажем, что число независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно q – 1, то есть на одно меньше, чем число узлов q.
В рассматриваемой схеме четыре узла (q = 4). Составим уравнения по первому закону Кирхгофа (см. раздел 1.2) для всех четырех узлов (рис. 24):
для первого узла ;
для второго узла ;
для третьего узла ;
для четвертого узла .
Ток каждой ветви входит в эти четыре уравнения дважды с противоположными знаками, поэтому при суммировании левых частей равенств первых трех узлов получим
, или ,
то есть уравнение, аналогичное уравнению для четвертого узла.
Таким образом, уравнение для четвертого узла не является независимым, так как оно может быть получено суммированием ранее взятых уравнений для трех узлов.
Распространяя полученный результат на общий случай произвольного числа узлов q, можно сделать заключение, что число независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов схемы без одного (q – 1).
Поскольку число ветвей р всегда больше числа узлов q, то недостающее число уравнений p – (q – 1) можно составить, пользуясь вторым законом Кирхгофа для замкнутых контуров рассчитываемой цепи.
Чтобы каждое из вновь составляемых уравнений было независимо от предыдущих, необходимо всю схему разбить на независимые контуры.
Независимым называется такой контур, который отличается от остальных контуров хотя бы одной ветвью, принадлежащей только ему.
На рассматриваемой схеме (рис. 24) показаны три таких независимых контура: