Методические рекомендации по нахождению неопределенных интегралов различными методами интегрирования и с помощью таблиц интегралов. Приведены индивидуальные задания, контрольные вопросы и список рекомендуемой литературы

1.7. Примеры выполнения задания 7

Рассмотрим методы интегрирования тригонометрических функций, решая конкретные примеры

Пример 7. Найти интегралы
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) ;
ж) ; з) ;
к) .
Решение.
а) Для нахождения интеграла воспользуемся тригонометрическим тождеством и применим формулы таблицы интегралов 8 и 9:

б) Для нахождения интеграла воспользуемся заменой: , а также формулой т.е. . Учитывая вышеизложенное, получаем



Заметим, что в данном примере замена определялась тригонометрической функцией, имеющей четную степень в подынтегральном выражении.
в) В данном примере полагаем , тогда .
Следовательно,


г) Заметим, что использование замены приводит к табличному интегрированию. Действительно,
и .
Тогда


д) Интегралы от тригонометрических функций, содержащих функции и в четных степенях находятся с помощью формул

т.е.


е) Для вычисления данного интеграла воспользуемся уже известным приемом представления: . Тогда



ж) Интегралы вида , , , (где ,   некоторые действительные числа) находятся с помощью известных тригонометрических формул:




.
Тогда


з) Для нахождения данного интеграла воспользуемся заменой , а также формулой , т.е. Учитывая вышеизложенное, получаем



к) Интегралы вида (или ), где m  целое положительное число, вычисляются с помощью формулы:
(или соответственно ).