Методические рекомендации по нахождению неопределенных интегралов различными методами интегрирования и с помощью таблиц интегралов. Приведены индивидуальные задания, контрольные вопросы и список рекомендуемой литературы

1.2. Примеры выполнения задания 2

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый следующей формулой:

(1.1)
где  функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке. Данная формула показывает, что переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену в подынтегральном выражении. Удачная замена позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному (табличным).
Отметим два частных случая замены переменных:
1. Введение под дифференциал постоянного слагаемого.
Для любой постоянной величины а справедливо равенство:
(1.2)
поэтому
2. Введение под дифференциал постоянного множителя.
Так как , то имеет место равенство
(1.3)
поэтому . (1.4)
Пример 2. Найти интегралы:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
Решение. Данные интегралы могут быть найдены путем применения формул введения под знак дифференциала постоянного множителя и слагаемого к одному из табличных интегралов.
а)
(см. табличный интеграл 7).
Заметим, что при имеют место формулы
(1.5)
(1.6)
б)

(см. табличный интеграл 2).
Следует заметить, что в общем случае
(1.7)
(см. табличный интеграл 3).
в)
Отметим, что при
. (1.8)
г)
(см. табличный интеграл 5).
Отметим, что при
. (1.9)
д)
(см. табличный интеграл 4).
е)
(см. табличный интеграл 8).


1.3. Примеры выполнения задания 3

Данные задания могут быть решены методом замены переменной. При этом полезным будет вспомнить равенство

(или ), (1.10)
из которого вытекают следующие формулы:
(для ),
в частности:







Пример 3. Найти интегралы
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
Решение.
а) сделаем замену переменной полагая . Найдем дифференциал от левой и правой части формулы :
или .
Окончательно,
и
Тогда

(см. табличный интеграл 5).
б) Заметим, что тогда обозначим
и применим формулу 2 из таблицы интегралов:

в) Для решения примера воспользуемся заменой
Тогда , т.е. откуда .
Итак,


г) Для решения данного примера воспользуемся равенством и заменой . Используя указанную замену и табличное интегрирование, получим результат:


д) Воспользуемся заменой, существенно упрощающей решение данного примера: . Тогда , откуда . Используя указанную замену и табличное интегрирование получим результат

е) Для решения примера воспользуемся заменой . Тогда т.е. и
Используя указанную замену и табличное интегрирование, получим результат