Методические рекомендации по нахождению неопределенных интегралов различными методами интегрирования и с помощью таблиц интегралов. Приведены индивидуальные задания, контрольные вопросы и список рекомендуемой литературы

1.4. Примеры выполнения задания 4

Данные задания должны быть решены методом интегрирования по частям, т.е. с помощью формулы интегрирования по частям:

. (1.11)
В указанном равенстве произвольную постоянную мы не пишем, т.к. в правой части формулы остался неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.
Полезно запомнить следующие 6 типов интегралов, которые удобно вычислить интегрированием по частям (n-натуральное число, а  действительное число)
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. .
Для интегралов 1, 2, 3 следует принимать за u множитель , т.е. обозначить . Это приведет к интегралу сходного типа, но уменьшит степень х на единицу. После n-кратного применения этого приема мы получим один из табличных интегралов
, , .
В интегралах 4, 5, 6, за u следует принять множитель при степенной функции, т.е. , или соответственно.
Пример 4. Найти интегралы, применяя метод интегрирования по частям
а) ; б) ;
в) ; г)
Решение.
а) Введем обозначения . Тогда
и . Применяя формулу интегрирования по частям (1.11) получаем


б) Обозначим .
Тогда
и .
Применяя формулу интегрирования по частям (1.11) получаем

в) Полагаем, что .
Тогда и
.
Применяя формулу (1.11) получаем





г) В данном примере для нахождения искомого интеграла формулу интегрирования по частям придется применять дважды.
Полагаем, что . Тогда и . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

Повторное применение формулы интегрирования по частям приводит к табличному интегралу. Действительно, обозначим теперь
Тогда , и