Методы определения весовых коэффициентов

§1. Экспертные оценки
Основная идея экспертных методов состоит в том, чтобы использовать интеллект людей, их способность искать и находить решение слабо формализованных задач. В теории экспертных оценок разработан ряд методов проведения экспертизы. Наиболее эффективными оказались методы ранжирования и приписывания баллов.
§1.1. Метод ранжирования
Метод ранжирования заключается в следующем. Пусть экспертиза проводится группой из L экспертов, которые являются квалифицированными специалистами в той области, где принимается решение. Метод ранжирования основан на том, что каждого эксперта просят расставить частные критерии проектируемого объекта в порядке их важности. Цифрой 1 обозначают наиболее важный частный критерий, цифрой 2 - следующий по важности частный критерий и т.д. Эти ранги преобразовываются таким образом, что ранг 1 - получает оценку m (число частных критериев), ранг 2 - оценку m-1 и т.д. до ранга m, которому присваивается оценка 1. Обозначим полученные оценки r_ik - где i это номер i - го эксперта, k это номер k - го критерия. Тогда результаты опроса экспертов можно свести в таблицу

Эксперты	Критерии
	F1	F2	. . .	Fm
1	r11	r12	. . .	r1m
2	r21	r22		r2m
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
L	rL1	rL2	. . .	rLm
 оценок	r1	r2	. . .	rm

, i=1,2, …,m.
В (L+1) - строке стоят суммы оценок, полученных критериями от экспертов. Тогда весовые коэффициенты определяются следующим образом


- (i=1,2, . . . , m) - формула для вычисления весовых коэффициентов _i по методу ранжирования.
Рассмотрим пример. Пусть имеются группа из трёх экспертов и два критерия F₁ и F₂. Эксперты их расставили в следующем порядке.

Эксперты	Места
	1	2
1	F1	F2
2	F2	F1
3	F1	F2

Определим элементы матрицы согласно алгоритму (первому месту – два балла, а второму - один балл): r₁₁=2, r₁₂=1, r₂₁=1, r₃₂=1.

Эксперты	Критерии
	F1	F2
1	2	1
2	1	2
3	2	1
Сумма	r1=5	r2=4

=5+4=9; ₁=r₁/9=5/9; ₂=r₂/9=4/9.
Таким образом, ₁>₂ и 1 – й критерий важнее 2 – го.
§1.2. Метод приписывания баллов
Этот метод основан на том, что эксперты оценивают важность частного критерия по шкале [0-10]. При этом разрешается оценивать важность дробными величинами или приписывать одну и ту же величину из выбранной шкалы нескольким критериям. Обозначим через h_ik - балл i - го эксперта для k- критерия, тогда


где - сумма i - ой строки.
r_ik - называют весом, подсчитанным для k - критерия i - м экспертом. Отсюда, учитывая, что
, получим
Пример. Пусть имеются два критерия F₁ и F₂. Эксперты поставили им следующие баллы.
F1 F2
1 9 6 h₁₁=9, h₁₂=6; ₁=15
2 10 6 h₂₁=10, h₂₂=6; ₂=16
3 10 5 h₃₁=10, h₃₂=5; ₃=15
Построим матрицу оценок

Эксперты	критерии
	F1	F2
1	h11=9	h12=6
2	h21=10	h22=6
3	h31=10	h32=5

Находим сумму значений каждой строки

Эксперты	критерии		Сумма
	F1	F2
1	9	6	15
2	10	6	16
3	10	5	15

Вычислим веса r_ik
r₁₁=h₁₁/15=9/15, r₁₂=h₁₂/15=6/15, r₂₁=h₂₁/16=10/15, r₂₂=h₂₂/16=6/16, r₃₁=h₃₁/15=10/15, r₃₂=h₃₂/15=5/15.
Построим матрицу весов и найдём сумму значений каждого столбца

Эксперты	критерии
	F1	F2
1	9/15	6/15
2	10/16	6/16
3	10/15	5/15
Сумма	r1=1.892	r2=1.108

r_i=1.892+1.108=3.
Вычисляем весовые коэффициенты
₁=1.892/3=0.631, ₂=1.108/3=0.369.
Таким образом, ₁>₂ и 1 – й критерий важнее 2 – го критерия.
Выше подразумевалось, что эксперты имеют равную компетентность. Однако если компетентность экспертов различна и может быть оценена некоторым числом, то полученные формулы нуждаются в уточнении. Пусть компетентность j - го эксперта оценивается положительной величиной _j (вес эксперта). Будем считать эти величины нормированными ( ).
Тогда для метода ранжирования r_i будем рассчитывать по формулам . Аналогично получаем для метода приписывания баллов


.
Замечание. Иногда значения _j выбирают из интервала (0   1).


§1.3. Обработка результатов экспертных оценок
Если рассматривать результаты оценок каждого из экспертов как реализации некоторой случайной величины, то к ним можно применять методы математической статистики. Среднее значение оценки для i - го критерия .
Среднее значение выражает коллективное мнение группы экспертов. Степень согласованности мнений экспертов характеризуется величиной
называемой дисперсией оценок. Ясно, что чем меньше значение дисперсии, чем с большей уверенностью можно опираться на найденные значения оценки степени важности частного критерия F_i(X). В качестве меры надёжности приведённой экспертизы принимают и называют вариацией. По среднему значению оценки определяются весовые коэффициенты

Статистическая обработка результатов экспертных оценок подобна статистической обработке результатов измерений. На достоверность экспертизы существенно влияют такие факторы, как численный состав экспертной группы, уровень компетентности экспертов; состав вопросов, представляемых экспертам и т.д.
Индивидуальные экспертные оценки также носят на себе печать случайности: настроение, самочувствие, обстановка, а также знание и опыт.
§2. Формальные методы определения весовых коэффициентов
Рассмотрим некоторые способы и числовые приемы, позволяющие по информации о качестве значений частных критериев оптимальности определять значения весовых коэффициентов λi.
Способ 1. Для каждого частного критерия оптимальности Fi(X)>0, вычисляется коэффициент относительного разброса по формуле:
,
где , который определяет максимально возможное отклонение по -му частному критерию. Весовые коэффициенты λi получают наибольшее значение для тех критериев, относительный разброс которых в области оценок наиболее значителен
.
Пример 1. В качестве примера рассмотрим конкретную числовую задачу в следующей постановке:

При этом имеем следующие значения промежуточных вычислений:

Тогда весовые коэффициенты будут иметь следующие значения:
,
.
Способ 2. Пусть все , тогда рассматриваются коэффициенты
,
которые характеризуют отклонение частного критерия оптимальности от его наименьшего значения.
Предположим, что важность -го критерия оптимальности зависит от выполнения неравенства
. (1)
Здесь величины задаются ЛПР из условия, что чем важнее критерий, тем меньше выбирается значение .
Пусть - наибольший радиус шара, построенного около точки минимума — i-го критерия оптимальности, внутри которого точки (шар радиуса с центром в ) удовлетворяют условию (1).
Тогда , при условии .
Теперь очевидно, что чем больше радиус шара , в котором относительное отклонение i-го критерия от его минимального значения не превосходит , тем меньше надо выбирать значение весового коэффициента λi:
.
Пример 2. Рассмотрим задачу из примера 1 и положим, что ЛПР задал , . Тогда будем иметь
при ,
при .
Откуда ,
т.к. λ₁>λ₂, то локальный критерий F₁ важнее локального критерия F₂.