Метод ортонормированных рядов. Пример Рассмотрим, как обычно, гильбертово пространство

Метод ортонормированных рядов. Пример
Рассмотрим, как обычно, гильбертово пространство Н и оператор А, который является положительно определенным на линеале D_А, плотном в Н. Пусть Н_А — пространство, построенное в гл. 10, со скалярным произведением (и, v)_A, которое, как мы знаем, представляет собой расширение скалярного произведения (и, v)_A, определенного первоначально на D_A соотношением
_(и, v)_A=(Au, v), ₍₁₎
на все пространство Н_А. В предыдущей главе было показано, что функционал
₍₂₎
достигает минимума в Н_А на определенном элементе и₀, одно­значно определяемом по элементу f из соотношения


(3)
Элемент и₀, минимизирующий функционал (2) в Н_А, назы­вается обобщенным решением уравнения Au = f. Некоторые свой­ства этого решения обсуждались в гл. 11. В этой и последующих главах будут показаны несколько эффективных методов нахожде­ния или аппроксимирования этого обобщенного решения.
С этой целью мы будем предполагать, что пространство Н_A сепарабельно. Для этого достаточно—как можно было бы ожи­дать и как подробно доказано, например, в [29],— чтобы про­странство Н было сепарабельным. Таким образом, если мы вы­берем в качестве пространства Н пространство L₂(G) — как это очень часто и будет в дальнейшем,— то сепарабельность Н_А также будет обеспечена, поскольку L₂(G) сепарабельно (см. теорему 4.7).
Напомним, что метрическое пространство Р называют сепара­бельным, если можно найти не более чем счетное множество его элементов, которое плотно в этом пространстве. В соответствии с теоремой 6.11 в каждом сепарабельном гильбертовом простран­стве существует так называемый базис, т. е. не более чем счет­ная линейно независимая система


₍₄₎
которая полна в этом пространстве, т. е. для любого и любого можно найти положительное целое число i и числа такие что
₍₅₎
Более того, если М—множество, плотное в этом пространстве, то можно построить базис только из элементов этого множества (см. примечание на с. 72). В соответствии с теоремой 6.12 можно также считать, что базис (12.4) ортонормирован в рассматривае­мом пространстве.
Итак, пусть (12.4) — ортонормированный базис в Н_A, построен­ный (если в этом есть необходимость) из элементов линеала D_A. Для элементов этого базиса, таким образом, мы имеем
₍₆₎
Поскольку по предположению (12.4) является ортонормирован- ным базисом в Н_A (т. е. полной ортонормированной системой в Н_А), обобщенное решение u₀ нашей задачи может быть записано в этом пространстве в виде соответствующего ряда Фурье (см. с. 70)


_(7)
где
(8)
Однако для любого и, таким образом, для любого (k=l, 2, ...) выполняется соотношение (3), так что


(9)
Коэффициенты ряда Фурье (7) тем самым определяются очень просто как скалярные произведения (в H) правой части / данного уравнения и функций базиса .
Итак, задача решена.
Заметим, что из сходимости ряда (7) в Н_А следует его схо­димость также и в Я. А именно, если s_n—п-я частичная сумма , то из (10.70) следует, что
₍₁₀₎


Поскольку { } образует базис в H_А, имеем в Н_A, откуда, согласно (10),
в H (11)
(См. также текст, следующий за уравнением (15).)
Полученный результат можно сформулировать следующим образом.
Теорема 12.1. Пусть А—положительно определенный опера­тор на линеале D_A, плотном в сепарабельном гильбертовом про­странстве H, и пусть . Далее, пусть ортонор­мированный базис в пространстве Н_А (по поводу Н_А см. гл. 10).