Метод ортонормированных рядов. Пример Рассмотрим, как обычно, гильбертово пространство

Тогда обобщенное решение и₀ уравнения Аu = f дается рядом
_(12)
где
(13)
( — скалярное произведение в Н). Этот ряд сходится к обобщенному решению u₀ как в Н_А, так и в Н.
Следовательно, согласно (12), решить нашу задачу очень просто: достаточно вычислить коэффициенты ряда Фурье (12). В частности, если H = L₂(G), задача сводится к вычислению интегралов вида


(14)
Читатель может решить, что этим задача нахождения обоб­щенного решения рассматриваемого уравнения Au = f полностью решена и что дальше развивать теорию в этом направлении не нужно. Однако трудность заключается в том, что в общем слу­чае построить ортонормированный базис в Н_A непросто. Эта за­дача нетривиальна, даже если не требуется ортонормированности базиса. (При построении базиса трудно удовлетворить требованию полноты, которое входит в его определение; см., в частности, гл. 20 и 25, в которых рассматриваются эти вопросы.) Однако даже если базис найден, его ортогонализация или, наконец, орто­нормирование (см. с. 69 и 53) представляет собой, вообще го­воря, чрезвычайно трудоемкий процесс и, как правило, с точки зрения численных расчетов едва ли осуществима. Поэтому были разработаны другие методы, не требующие ортонормирования базиса. Они будут обсуждаться в последующих главах.
Тем не менее построение ортонормированного базиса в неко­торых частных случаях (например, для очень простых обыкно­венных дифференциальных операторов или дифференциальных операторов в частных производных, рассматриваемых в очень простых областях) может быть выполнено относительно несложно.
Приведем пример.
Пример 12.1. Решим задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике G (0 < х < а, 0 < у < b):
(15)
u =0 на Г, (16)
Выберем Н = L₂ (G). Как обычно, в качестве линеала D_A = выберем множество функции, непрерывных вместе со своими пер­выми и вторыми производными в и удовлетворяющих условию (16). Мы знаем, что это множество плотно в (теорема 8.6). Как будет показано ниже (в гл. 22), оператор А, заданный на D_A правилом А =- , положительно определен на этом линеале. Следовательно, обычным способом можно построить гильбертово пространство (см. гл. 10). В данном слу­чае в качестве базиса в этом пространстве можно выбрать си­стему функций


(18)

и.т.д.
Процедура перечисления состоит в следующем: образуются группы из тех функций (12.17), для которых m + ti — i, где i принимает последовательно значения 2, 3 В каждой из этих групп функции упорядочены в соответствии с убыванием значений пер­вого индекса т, который принимает в каждой группе последова­тельно значения i — 1, i—2, ..., 1. Этим способом получается система функций (л:, у), s = 1, 2,

Как известно,