Метод ортонормированных рядов. Пример
Рассмотрим, как обычно, гильбертово пространство Н и оператор А, который является положительно определенным на линеале DА, плотном в Н. Пусть НА — пространство, построенное в гл. 10, со скалярным произведением (и, v)A, которое, как мы знаем, представляет собой расширение скалярного произведения (и, v)A, определенного первоначально на DA соотношением
(и, v)A=(Au, v), (1)
на все пространство НА. В предыдущей главе было показано, что функционал
(2)
достигает минимума в НА на определенном элементе и0, однозначно определяемом по элементу f из соотношения
(3)
Элемент и0, минимизирующий функционал (2) в НА, называется обобщенным решением уравнения Au = f. Некоторые свойства этого решения обсуждались в гл. 11. В этой и последующих главах будут показаны несколько эффективных методов нахождения или аппроксимирования этого обобщенного решения.
С этой целью мы будем предполагать, что пространство НA сепарабельно. Для этого достаточно—как можно было бы ожидать и как подробно доказано, например, в [29],— чтобы пространство Н было сепарабельным. Таким образом, если мы выберем в качестве пространства Н пространство L2(G) — как это очень часто и будет в дальнейшем,— то сепарабельность НА также будет обеспечена, поскольку L2(G) сепарабельно (см. теорему 4.7).
Напомним, что метрическое пространство Р называют сепарабельным, если можно найти не более чем счетное множество его элементов, которое плотно в этом пространстве. В соответствии с теоремой 6.11 в каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует так называемый базис, т. е. не более чем счетная линейно независимая система
(4)
которая полна в этом пространстве, т. е. для любого и любого можно найти положительное целое число i и числа такие что
(5)
Более того, если М—множество, плотное в этом пространстве, то можно построить базис только из элементов этого множества (см. примечание на с. 72). В соответствии с теоремой 6.12 можно также считать, что базис (12.4) ортонормирован в рассматриваемом пространстве.
Итак, пусть (12.4) — ортонормированный базис в НA, построенный (если в этом есть необходимость) из элементов линеала DA. Для элементов этого базиса, таким образом, мы имеем
(6)
Поскольку по предположению (12.4) является ортонормирован- ным базисом в НA (т. е. полной ортонормированной системой в НА), обобщенное решение u0 нашей задачи может быть записано в этом пространстве в виде соответствующего ряда Фурье (см. с. 70)
(7)
где
(8)
Однако для любого и, таким образом, для любого (k=l, 2, ...) выполняется соотношение (3), так что
(9)
Коэффициенты ряда Фурье (7) тем самым определяются очень просто как скалярные произведения (в H) правой части / данного уравнения и функций базиса .
Итак, задача решена.
Заметим, что из сходимости ряда (7) в НА следует его сходимость также и в Я. А именно, если sn—п-я частичная сумма , то из (10.70) следует, что
(10)
Поскольку { } образует базис в HА, имеем в НA, откуда, согласно (10),
в H (11)
(См. также текст, следующий за уравнением (15).)
Полученный результат можно сформулировать следующим образом.
Теорема 12.1. Пусть А—положительно определенный оператор на линеале DA, плотном в сепарабельном гильбертовом пространстве H, и пусть . Далее, пусть ортонормированный базис в пространстве НА (по поводу НА см. гл. 10).
Do'stlaringiz bilan baham: |