Метод ортонормированных рядов. Пример Рассмотрим, как обычно, гильбертово пространство



Download 64,72 Kb.
bet1/2
Sana04.04.2022
Hajmi64,72 Kb.
#528524
  1   2
Bog'liq
7. Метод ортонормированных рядов(145-151 б)


Метод ортонормированных рядов. Пример
Рассмотрим, как обычно, гильбертово пространство Н и оператор А, который является положительно определенным на линеале DА, плотном в Н. Пусть НА — пространство, построенное в гл. 10, со скалярным произведением (и, v)A, которое, как мы знаем, представляет собой расширение скалярного произведения (и, v)A, определенного первоначально на DA соотношением
(и, v)A=(Au, v), (1)
на все пространство НА. В предыдущей главе было показано, что функционал
(2)
достигает минимума в НА на определенном элементе и0, одно­значно определяемом по элементу f из соотношения


(3)
Элемент и0, минимизирующий функционал (2) в НА, назы­вается обобщенным решением уравнения Au = f. Некоторые свой­ства этого решения обсуждались в гл. 11. В этой и последующих главах будут показаны несколько эффективных методов нахожде­ния или аппроксимирования этого обобщенного решения.
С этой целью мы будем предполагать, что пространство НA сепарабельно. Для этого достаточно—как можно было бы ожи­дать и как подробно доказано, например, в [29],— чтобы про­странство Н было сепарабельным. Таким образом, если мы вы­берем в качестве пространства Н пространство L2(G) — как это очень часто и будет в дальнейшем,— то сепарабельность НА также будет обеспечена, поскольку L2(G) сепарабельно (см. теорему 4.7).
Напомним, что метрическое пространство Р называют сепара­бельным, если можно найти не более чем счетное множество его элементов, которое плотно в этом пространстве. В соответствии с теоремой 6.11 в каждом сепарабельном гильбертовом простран­стве существует так называемый базис, т. е. не более чем счет­ная линейно независимая система


(4)
которая полна в этом пространстве, т. е. для любого и любого можно найти положительное целое число i и числа такие что
(5)
Более того, если М—множество, плотное в этом пространстве, то можно построить базис только из элементов этого множества (см. примечание на с. 72). В соответствии с теоремой 6.12 можно также считать, что базис (12.4) ортонормирован в рассматривае­мом пространстве.
Итак, пусть (12.4) — ортонормированный базис в НA, построен­ный (если в этом есть необходимость) из элементов линеала DA. Для элементов этого базиса, таким образом, мы имеем
(6)
Поскольку по предположению (12.4) является ортонормирован- ным базисом в НA (т. е. полной ортонормированной системой в НА), обобщенное решение u0 нашей задачи может быть записано в этом пространстве в виде соответствующего ряда Фурье (см. с. 70)


(7)
где
(8)
Однако для любого и, таким образом, для любого (k=l, 2, ...) выполняется соотношение (3), так что


(9)
Коэффициенты ряда Фурье (7) тем самым определяются очень просто как скалярные произведения (в H) правой части / данного уравнения и функций базиса .
Итак, задача решена.
Заметим, что из сходимости ряда (7) в НА следует его схо­димость также и в Я. А именно, если snп-я частичная сумма , то из (10.70) следует, что
(10)


Поскольку { } образует базис в HА, имеем в НA, откуда, согласно (10),
в H (11)
(См. также текст, следующий за уравнением (15).)
Полученный результат можно сформулировать следующим образом.
Теорема 12.1. Пусть Аположительно определенный опера­тор на линеале DA, плотном в сепарабельном гильбертовом про­странстве H, и пусть . Далее, пусть ортонор­мированный базис в пространстве НА (по поводу НА см. гл. 10).

Download 64,72 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish