|
ФИО автора:
Шокиров Шоҳзод
МАГИСТРАНТ
2-КУРСА
НАВОИЙСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОГО
ПЕДАГОГИЧИСКОГО ИНСТИТУТА
Название публикации:
«РОЛЬ НЕСТАНДАРТНЫХ УРАВНЕНИЙ В
САМОСТОЯТЕЛЬНОМ МЫШЛЕНИИ СТУДЕНТОВ»
ЎҚУВЧИЛАРНИНГ МУСТАҚИЛ ФИКРЛАШИДА
НОСТАНДАРТ ТЕНГЛАМАЛАРНИ ЎРНИ.
(НАВОИЙ ДАВЛАТ ПЕДАГОГИКА ИНСТИТУТИ
2-КУРС МАГИСТРАНТИ ШОКИРОВ ШОҲЗОД)
Анотация :
в етой статье обсуждается роль нестандартных уравнений в самостоятельном
мышлении студентов и способы решения некоторых уравнений.
Анотатсия:
ушбу мақолада ностандарт тенгламаларни ўқувчиларнинг мустақил
фикрлашидаги ўрни ва айрим тенгламаларни ечиш усуллари ҳақида фикр юритилади.
Annotation:
This article discussesthe role of non-standartequations in students’ independent
thinking and ways to solve some equations.
Ключевыe слова:
Квадратное уравнение, тригонометрическое уравнение, нестандартное
уравнение
Калит сўзлар:
ностандарт тенгламалар,тригонометрик тенглама.квадрат тенглама.
Keywords:
nonstandard equation,quadratic equation,trigonometric equation.
Ким математикани билмаса ,ҳақиқатни билмайди.
Ким уни тушунмаса зулматда яшайди.
Рени Декарт
Республикамиз таьлим -тарбия тизимида қатор ислоҳий ўзгаришлар амалга
оширилган бўлиб ,уларнинг асосий мақсади ёш авлодни лаёқати ,қобилияти,иқтидорини
аниқлаш ,очиш ва уларнинг ривожланиши учун шарт -шароит ва имкониятлар яратишдан
иборатдир. Булар ўқувчиларнинг фанга бўлган қизиқишини шакллаштириш,фаоллигини
ошириш ва уларни рағбатлантириш билан боғлиқдир. Бунинг ёрқин бир мисоли сифатида
фан олимпиадаларини айтишимиз мумкин. Олимпиадалар ўқувчи ва талабаларнинг ижодий
фаоллигини ўстиришда ,тафаккур жараёнларини шакллантиришда , мантиқий фикрлаш
кўникмаларини ривожлантиришда ёрдам беради ва бунда ностандарт мисол ва
масалаларнинг ўрни катта аҳамиятга эгадир .
Иқтидорли ўқувчиларнинг эгаллаган билим ва кўникмаларини қанчалик чуқур ва
мустаҳкамлигини ,уларнинг ижодий фикрлаш доирасининг кенглигини аниқловчи
мезонлардан бири сифатида ностандарт мисол ва масалаларни айта оламиз . Ностандарт
мисол ва масалалар ичида ностандарт тенгламаларнинг ўрни алоҳида ва беқиёсдир.
523
Ташқи кўриниши одатдаги тенгламалардан кескин фарқ қиладиган тенгламалар
шунингдек,ташқи кўриниши одатдаги тенгламаларга ўхшайдиган лекин одатдаги усуллар
билан ечиш мумкин бўлмайдиган тенгламалар ностандарт тенгламалар дейилади .
Биз қуйида бир нечта ностандарт тенгламаларни ечилиш юлларини кўриб чиқамиз.
1-мисол.
𝑥
2
+1
𝑥
2
+11
=
1
6
√
11𝑥−6
6−𝑥
тенгламанинг илдизлари кўпайтмасини топинг.
Ечиш:
Биз бу тенгламани иррационал тенглама сифатида қабул қилиб иккала томонини квадратга
оширсак иррационалликдан қутқарамиз лекин тенгламамиз янада мураккаблашади .Демак
биз бу тенгламани ечишда бошқа усулдан фойдаланишимиз керак. Биз аввало тенгламани
қуйидаги кўринишда ифодалаб оламиз
6(𝑥
2
+1)
𝑥
2
+11
= √
11𝑥−6
6−𝑥
сўнгра қуйидагича белгилаш киритамиз: y=
√
11𝑥−6
6−𝑥
яьни тенгламанинг ўнг томонини
функсия сифатида қабул қилиб олдик. Энди шу функсияга тескари функсияни топамиз
𝑦
2
=
11𝑥−6
6−𝑥
→
6𝑦
2
− 𝑦
2
𝑥
=
11𝑥 − 6
→
(11+
𝑦
2
)x=6
𝑦
2
+6
→
x=
6(𝑦
2
+1)
11+𝑦
2
y=
6(𝑥
2
+1)
11+𝑥
2
кўриб турибмизки ҳосил бўлган тескари функсиямиз берилган тенгламанинг
чап томони билан бир хил экан. Демак
𝑦(𝑥)
=
𝑦(𝑥)
−1
яни функсиянинг тескариси ўзига
тенг экан . Биз биламизки
6(𝑥
2
+1)
𝑥
2
+11
= √
11𝑥−6
6−𝑥
, y=
√
11𝑥−6
6−𝑥
, y=x кўринишдаги
функсияни тескариси ўзига тенг еканлигидан
6(𝑥
2
+1)
𝑥
2
+11
= 𝑥
тенглама ҳосил бўлади .
6𝑥
2
+ 6 = 𝑥
3
+ 11𝑥
𝑥
3
− 6𝑥
2
+ 11𝑥 − 6 = 0
тенгламадан кўриниб турибдики илдизлари кўпайтмаси
𝑎𝑥
3
+b
𝑥
2
+cx+d=0 кўринишдаги учинчи даражали тенгламалар учун қуйидаги тенгликлар
ўринли эди:
𝑥
1
+ 𝑥
2
+ 𝑥
3
=
−𝑏
𝑎
𝑥
1
𝑥
2
+ 𝑥
2
𝑥
3
+ 𝑥
1
𝑥
3
=
−𝑐
𝑎
𝑥
1
𝑥
2
𝑥
3
=
−𝑑
𝑎
Учинчи тенгликдан фойдалансак
𝑥
1
𝑥
2
𝑥
3
=6 натижага эришамиз.
524
Кўриб турганингиздек юқоридаги тенгламани ечишда биз янгича ноодатий усулдан
фойдаландик. Яни тенглама кўринишини содда ҳолга келтиришда тескари функсия
хоссаларидан фойдаландик.
2-мисол.
𝑥 = 2(2(2𝑥
2
− 1)
2
− 1)
2
− 1
тенгламани ечинг .
Ечиш : биз бу тенгламани ечиш учун x=cos
𝛼
белгилаш киритамиз . Шунда тенгламамиз
cos
𝛼 = 2(2(2 cos
2
𝛼 − 1)
2
− 1)
2
− 1
кўринишга келади.
Тенгламамизнинг энг ичкаридаги қавс ичидаги ифода тригонометрик айниятга кўра
2 cos
2
𝛼 − 1
= cos
2𝛼
га тенг, бундан кейинги қавс ичидаги ифода
2 cos
2
2𝛼 − 1
= cos
4𝛼
га тенг . Бундан тенгламамизнинг ўнг томони
2 cos
2
4𝛼 − 1
= cos
8𝛼
га тенг бўлади .Умумий ҳолда қуйидаги кўринишдаги
тригонометрик тенглама ҳосил бўлади : cos
𝛼
=cos
8𝛼
cos
𝛼
-cos
8𝛼
=0 косинуслар айирмасини кўпайтмага келтириш формуласига кўра
2 sin
7𝛼
2
sin
9𝛼
2
=0 кўринишга келади ,бундан sin
7𝛼
2
=0, sin
9𝛼
2
=0 тенглама ечимлар
𝛼
1
=
2𝜋𝑘
7
,
𝛼
2
=
2𝜋𝑘
9
𝑘𝜖
z
Демак
𝑥
1
=
𝑐𝑜𝑠
2𝜋𝑘
7
{𝑐𝑜𝑠0, 𝑐𝑜𝑠
2𝜋
7
𝑐𝑜𝑠
4𝜋
7
𝑐𝑜𝑠
6𝜋
7
}
𝑥
2
=
𝑐𝑜𝑠
2𝜋𝑘
9
{𝑐𝑜𝑠
2𝜋
9
𝑐𝑜𝑠
4𝜋
9
𝑐𝑜𝑠
2𝜋
9
, 𝑐𝑜𝑠
8𝜋
9
}
Юқоридаги тенгламани ечишда янги ўзгарувчи ёрдамида тенглама тубдан ўзгарганлигини
сезишингиз мумкин .
3-мисол
(𝑥
2
− 9𝑥 + 16)
2
−
(𝑥
2
− 9𝑥 + 16
)+16=
𝑥
тенгламани ечинг
Берилган тенглама кўриниб турибдики одатдаги тенгламалардан фарқ қилади ,демак бу
тенгламани ечиш учун махсус юл керак бўлади.
Аввало тенгламани ечишдан олдин қуйидагича белгилаш киритамиз:
𝑥
2
− 9𝑥 + 16 = z
бу белгилаган ифодамизни тенгламага келтириб қўйсак
𝑧
2
− 9𝑧 + 16 = x
кўринишдаги тенглама ҳосил бўлади .енди бу иккала тенгликни ҳадма
-ҳад бир биридан айирсак
𝑥
2
− 9𝑥 + 16 − 𝑧
2
+ 9𝑧 − 16 = 𝑧 − x
га эга
бўламиз.Тенгликни чап томонини соддалаштирсак
𝑥
2
− 𝑧
2
− 9𝑥 + 9𝑧 = 𝑧 − x
кўринишга келади
(х-z)(х+z)-9(х-z)-(х-z)=0
(х-z)(х+z-9+1)=0
525
х-z=0 дан z=х
х+z-8=0 дан z=8-х тенгликларга эга бўламиз ва дастлабки белгилаш киритган
тенглигимизга келтириб қўямиз.
1) )
𝑥
2
− 9𝑥 + 16 = 𝑥
𝑥
2
− 10𝑥 + 16 = 0
квадрат тенглама илдизлари х=2,х=8
2)
𝑥
2
− 9𝑥 + 16 = 8 − 𝑥
𝑥
2
− 8𝑥 + 8 = 0
квадрат тенглама илдизга эга эмас ,чунки унинг дискременанти
манфий экан.
Демак тенглама илдизлари х=2 ва х=8
4.
𝑥
2
− 10[𝑥] + 9 = 0
тенгламани ечинг .
Ечиш:
𝑥
х >0 экани тушунарли . Чунки бундан эса х нинг мусбат эканлиги келиб чиқади.
Мусбат сон ҳар доим ўзининг бутун қисмидан кичикмас, яьни x
≥
[𝑥]
. Натижада
𝑥
2
− 10𝑥 +
9 ≤ 0
тенгсизли кни ҳосил қиламиз.
Бундан 1
≤ 𝑥 ≤
9 келиб чиқади , бундан 1
≤ [𝑥] ≤
9 .
𝑥
2
+ 9
сон 10 га бўлинувчи бутун
сондир.
1) 1
≤ 𝑥 <
2
→
𝑥
2
+ 9
=10
→
𝑥
2
=1
→
x=1
2) 2
≤ 𝑥 <
3
→
𝑥
2
+ 9
=20
→
𝑥
2
=11
→
x=
√11
3) 3
≤ 𝑥 <
4
→
𝑥
2
+ 9
=30
→
𝑥
2
=21
→
x=
√21
4)4
≤ 𝑥 <
5
→
𝑥
2
+ 9
=40
→
𝑥
2
=31
→
x=
√31
5) 5
≤ 𝑥 <
6
→
𝑥
2
+ 9
=50
→
𝑥
2
=41
→
x=
√41
6) 6
≤ 𝑥 <
7
→
𝑥
2
+ 9
=60
→
𝑥
2
=51
→
x=
√51
7) 7
≤ 𝑥 <
8
→
𝑥
2
+ 9
=70
→
𝑥
2
=61
→
x=
√61
8) 8
≤ 𝑥 <
9
→
𝑥
2
+ 9
=80
→
𝑥
2
=71
→
x=
√71
9) x=9
→
𝑥
2
+ 9
=90
→
𝑥
2
=81
→
x=9
Жавоб: 1,
√61
,
√71,
9 экан.
Кўриб турганинингдек юқоридаги 4 та тенгламанинг кўриниши одатдаги тенгламалардан
тубдан фарқ қилади ёки кўриниши одатдаги тенгламалардек кўринса ҳам ечилиш юли
одатдагидек эмас. Ўқувчилар айнан бундай кўринишдаги мисолларни ечиш орқали мустақил
изланувчига айланади ,чунки турли хил юллардан фойдаланиб ечим топишга
уринади.Мисолни ечиш жараёнида қайсидир юлнинг хатолигини англаб йетса ,қайсидир юл
мисолни янада мураккаб кўринишга келтиришини ва яна қайсидир юл тўғри ечимга олиб
боришини тушуниб етади .
526
Ўқувчиларнинг билиш мустақиллиги,аввало,мустақил фикрлашга,муаммоли вазиятга
кўникиш қобилияти,мисол ва масалаларни идрок қилиш ҳамда ечиш юлини топишга
ўргатади Ўқувчи масала моҳиятини тушуниб етгандан сўнг ,топшириқни ташқи ёрдамсиз
бажаришга интилади ,онгли равишда мақсад қўяди ва унга эришиш юлини ҳам белгилаб
олади .
Ўқувчиларда мустақил иш малакаларини ривожланиши масала ечимини топишда турли хил
усуллардан фойдаланишда кўринади .Демак ,ўқувчи ҳар қандай билимга эришиши учун
ўқиш -ўрганишни чидам билан олиб бориладиган машаққатли меҳнат орқали амалга
ошишини тушуниб етиши керак .Шундан сўнг ,ўқувчи мустақил ўрганиш орқали ўқишга
,мунтазам меҳнатга одатланади.Бу одат ўқувчи учун ўқиш ўрганишни қизиқарли машғулотга
айлантиради .
Фойдаланилган адабиётлар рўйҳати:
1. Ҳ.Норжигитов,Ж.А.Бахромов. ’’Математикадан олимпиада масалаларини ечиш учун
қўлланма ’’.Гулистон -2014.
2.Ш.Н .Исмаилов .’’Сонлар назарияси’’, Тошкент -2008
3. ФМИ журналлари 2001-2009-йиллар
4.Интернет сайтлари .,,Математикафлй’’ телеграм канали
527
Do'stlaringiz bilan baham: |
