Международный научно-образовательный электронный журнал «образование и наука в XXI веке». Выпуск №10 (том 1)

Задача 35
: Доказать, что любой четырехугольник покрывается кругами, построенными на его 
сторонах как на диаметрах. 
Задача 36
: Дан выпуклый четырехугольник. 4 треугольника, на которые он разбивается 
диагоналями, имеют равные площади. Доказать, что четырехугольник является 
параллелограммом. 
Задача 38
: ABCD – трапеция, O – точка пересечения ее диагоналей. Доказать, что SAOB + 
SCOD = SAOD + SBOC. 
Задача 39
: r – радиус вписанной окружности треугольника, ha, hb, hc - высоты. Доказать, что 
. 
Задача 40
: a) В выпуклом четырехугольнике провели две среднии линии, и получившиеся 4 
четырехугольника раскрасили в шахматном порядке. Доказать, что сумма площадей белых 
частей равна сумме площадей черных. 
b) Доказать тоже самое для картинки , где каждая сторона разбита на 4 равные части, и точки 
деления соединены с соответствующими на противоположной стороне четырехугольника. 
Задача 41
: a) ABCD – выпуклый четырехугольник, X – середина CD. Доказать, что SABX = 
½(SABC + SABD). 
b) ABCD – выпуклый четырехугольник, M – середина AB, N – середина BC. SABCD = 1. Найти 
SABC + SDMC + SAND. 
Задача 42
: Доказать, что угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, прямой. 
Задача 43
: Доказать, что угол, вписанный в окружность, равен половине стягиваемой им дуги. 
Задача 44
: a) Доказать, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов 
равна 180 градусов. 
b) Доказать обратное утверждение. 
Задача 45
: На середине прислоненной к стене лестницы сидит кошка. Лестница начинает 
съезжать. Какую линию опишет кошка? 
Задача 46
: Угол с вершиной вне окружности высекает на ней дуги с величинами a и b. 
Доказать, что величина угла равна (если a > b). 
Задача 47
: Угол с вершиной внутри окружности высекает на ней дуги с величинами a и b. 
Доказать, что его величина равна . 
Задача 48
: Доказать, что дуги, высекаемые на окружности парой параллельных прямых, 
равны: 
a) если обе прямые пересекают окружность в двух точках 
b) если одна из них является касательной. 
Задача 49
: Даны две пересекающиеся окружности. ABCD – выпуклый четырехугольник, 
причем A и D лежат на одной окружности, B и C - на другой, стороны AB и CD проходят через 
точки пересечения окружностей. Известно, что ABCD – вписанный. Доказать, что AD 
параллельно BC.