Mazmuni 1-lekciya. Ózlik emes integrallar

 

 

 

 

---

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3-lekciya.Sanlı qatarlar hám olardıń jıynaqlılıq belgileri. 

Anıqlama.  Sanlı  qatarlar  dep  qosıw  belgisi  menen  biriktirilgen 

 

 

   

 

       

 

 sanlarınıń sheksiz izbe-izligine aytamız. 

 

 

   

 

       

 

      ∑  

 

 

   

             

 

 

   

 

       

 

     sanları  qatardıń  aǵzaları,  al   

 

-  qatardıń    -aǵzası 

yamasa ulıwma aǵzası dep ataladı. 

---

(11.1)  qatardıń  ulıwma  aǵzası   

 

                       belgili  bolsa,  qatar 

berilgen delinedi. 

Mısalı. Ulıwma aǵzası  

 

 

 

 

 bolǵan qatar: 

   

 

 

 

 

 

     

 

 

    

Eger  ulıwma  aǵzası  

 

    

   

                 bolǵan  qatar  berilse  ol 

geometriyalıq progressiyanıń ulıwma aǵzası boladı.  Qatardıń aǵzaları sanı 

shekli bolǵanda aǵzalarınıń qosındısın qaraymız: 

 

 

   

 

 

 

 

   

 

   

 

 

 

 

   

 

   

 

       

 

 

qatardıń d{slepki   aǵzasınıń qosındısı  

 

 dara qosındı dep ataladı. 

Anıqlama. Qatardıń dara qosındıları izbe-izligi shekli shekke iye bolsa 

qatar jıynaqlı dep, yaǵnıy  

   

    

 

 

                                         

keri  jaǵdayda  qatar  tarqalıwshı  dep  ataladı.   sanlı  qatardıń  qosındısı  dep 

ataladı. Onı 

 

 

   

 

       

 

      ∑  

 

 

   

                           

dep jazıwǵa boladı. 

1-mısal

 

   

 

 

   

 

 

   

     

 

      

    qatardı jıynaqlılıqqa tekseriń.   

Sheshiliwi:     

 

 

 

   

       

 

 

 

   

 

 

   

,   

 

 

 

   

 

 

   

 

 

   

   

 

     

 

 

   

 

 

  (   

 

 

)   (

 

 

 

 

 

)      

 

 

 ,   

 

     

 

 

     

     

 

     

 

   

   dep  jazıwǵa boladı. 

Sonda qatardıń dara qosındısı: 

   

   

 

 

       

   

   

 

     

       

demek berilgen qatar jıynaqlı h{m qosındısı 1 ge teń. 

---

2-mısal. 

Geometriyalıq 

progressiyanıń 

aǵzalarınan 

dúzilgen 

geometriyalıq qatardı jıynaqlılıqqa izertleń. 

           

 

        

   

      ∑   

   

              

 

   

 

Sheshiliwi:  Bunda  progressiyanıń  bólimi    dıń  qanday  m{nisinde 

(11.4) Qatar jıynaqlı h{m qanday m{nisinde tarqalıwshı ekenligin anıqlaw 

kerek. 

Mektep  kursınan  belgili      bolǵanda  geometriyalıq  progressiyanıń 

 -aǵzasınıń qosındısı, yaǵnıy qatardıń n-dara qosındısı 

 

 

 

   

 

    

     

                                      

 formulası menen anıqlanadı. 

  Bunda birneshshe jaǵday bolıwı múmkin: 

1) 

Eger | |      bolsa  

   

   

 

 

     

   

   

 

 

     

   

(

  

 

     

 

 

     

)  

 

     

 

yaǵnıy qatar jıynaqlı h{m onıń qosındısı    

  

   

 .  

2) 

Eger | |      bolsa  

   

   

   

 

 

     

demek   

   

   

 

 

    

h{m qatar tarqalıwshı. 

  3)      Eger       bolsa,  (11.4)  qatar               túrge  iye  bolıp,  onıń  n-

dara qosındısı   

 

      boladı h{m  

   

   

 

 

     

   

       

yaǵnıy qatar tarqalıwshı.    

---

  4)      Eger        bolsa, (11.4) qatar  

                        

   

           túrge  iye  bolıp,  onıń  n  jup 

bolǵanda  

 

   , al n taq  bolǵanda  

 

    demek 

   

   

 

 

 

bar bolmaydı, demek qatar tarqalıwshı. 

       Jıynaqlı qatarlardıń qásiyetleri. 

1.  Egerde   

 

   

 

       

 

     qatarı  jıynaqlı  h{m  qosındısı     bolsa,  

  

 

    

 

        

 

     qatarıda jıynaqlı boladı h{m qosındısı    boladı. 

2.  Egerde   

 

   

 

       

 

     h{m   

 

   

 

       

 

       qatarları 

jıynaqlı h{m qosındılar  

 

 h{m  

 

 bolsa,  

  

 

   

 

    

 

   

 

          

 

   

 

      

qatarıda jıynaqlı h{m qosındısı  

 

   

 

 boladı. 

3.  Eger  qatar  jıynaqlı  bolsa  onıń  bazı  bir  shekli  sandaǵı  aǵzaların  taslap 

ketiwden payda bolǵan qatarda jıynaqlı boladı.  

Meyli (11.1) qatar jıynaqlı bolsın, onıń d{slepki n aǵzasın taslap ketsek  

                           

   

   

   

       

   

                  (3.6)     

qatar payda boladı. Bul qatardıń dara qosındısı  

                         

 

   

   

   

   

       

   

        

boladı.            

                           

   

    

 

. 

Bunnan belgilep alınǵan n ushın   

   

   

 

   

 

bar boladı, eger  

   

   

 

 

 

bar bolsa, demek (11.6) qatar jıynaqlı boladı. 

---

4.  (11.1)  qatar  jıynaqlı  bolıwı  ushın,  qatardıń  qaldıǵı        umtılǵanda 

nolge 

umtılıwı, 

kerek 

h{m 

jetkilikli, 

yaǵnıy  

   

   

 

 

     

 Bul  q{siyet  sheksiz  kishi  muǵdardıń  funkciyanıń  shegi  menen  balanıslı 

tuwralı teoremadan kelip shıǵadı. 

      Qatar  jıynaqlılıǵınıń kerekli belgisi.  

Teorema.  (Jıynaqlılıqtıń  kerekli  belgisi)  Egerde  qatar  jıynaqlı  bolsa, 

      umtılǵanda onıń ulıwma aǵzasınıń shegi nolge teń, yaǵnıy                

                  

   

 

 

                                                        

Saldar.  Egerde qatardıń ulıwma  aǵzasınıń’ shegi       da nolge teń 

bolmasa, yaǵnıy 

   

   

 

 

    

onda qatar tarqalıwshı boladı. 

 

Kerisinshe  oylayıq,  yaǵnıy  meyli  qatar  jıynaqlı  bolsın.  Onda 

jıynaqlılıqtıń kerekli belgisi teorema boyınsha 

   

   

 

 

    

Sharti  orınlanıwı  kerek.  Bul  qarama-qarsılıq,  qatardıń  jıynaqlıǵı  tuwralı 

oyımız q{te ekenligin ko’rsetedi. 

 

Mısalı.  Berilgen

  

    

 

  

    

         

   

       

       qatardi  jıynaqlılıqqa 

izertleń. 

 

Sheshiliwi.  Qatardıń  ulıwma  aǵzası   

 

 

   

       

         shegin 

tabamiz: 

   

   

   

         

     

   

  

      

 

 

 

 

   

    

 

Demek qatar tarqalıwshı. Solay etip qatardıń ulıwma aǵzasınıń shegi 

nolge  teń  bolsa,  yaǵnıy  (11.7)  sh{rt  orınlansa  qatar  jıynaqlı.  Biraq  (11.7) 

sh{rttiń  orınlanıwı  qatardıń  jıynaqlılıǵına  kepillik  bere  almaydı.  Ol 

jıynaqlılıq  ushın  jeterli  emes.  Bazı  bir  tarqalıwshı  qatarlardıń  ulıwma 

aǵzasınıń shegi nolge teń. Onday qatarlarǵa mısal retinde 

   

 

 

 

 

 

       

 

 

      

garmonikalıq qatarın keltiriwge boladı. 

 

Bul qatardıń dara qosındı izbe-izligi monoton ósip baradı: 

---

 

 

      

 

     

 

 

   

 

     

 

 

 

 

 

 h{m t.b. 

 

Demek qatar aǵzalar sanı ósip barǵan sayın qosındılarınıń shamaları 

ósip  bara  beredi.  Demek  qatar  tarqalıwshı.  Biraq  ulıwma  aǵzasınıń  shegi 

nólge teń: 

 

 

 

 

 

     

   

 

 

    

 

Garmonikalıq  qatardıń  dara  summaları  sheksiz  ósip  baradı,  biraq 

{stelik penen. Misali:  

    

      al  

       

       ekeni esaplang’an.